группа перестановок

[ShMaxG]

А почему если $n$ --- нечётное, то любая перестановка порядка $n$ из $S_n$ принадлежит $A_n$?

[RIP]

ShMaxG писал(а):

А почему если $n$ --- нечётное, то любая перестановка порядка $n$ из $S_n$ принадлежит $A_n$?

Используйте разложение в произведение независимых циклов.

[ShMaxG]

Профессор Снэйп писал(а):

Ага! Вроде всё понял.

Если $n \geqslant 4$ --- чётное, то пусть

$$ a = (1,2, \ldots,n) $$

и

$$ b = (n,n-2,\ldots,4,1,n-1,n-3,\ldots,3,2) $$

Тогда $a^2b = (1,2)$.

Не получается, кстати.

Добавлено спустя 6 минут 1 секунду:

Наверно так:

\[ \begin{gathered} a = (1,2,...,n) \hfill \\ a^2 = (1,3,...,n - 1) \hfill \\ b = (3,2,1) \hfill \\ \end{gathered} \]

[RIP]

ShMaxG писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Ага! Вроде всё понял.

Если $n \geqslant 4$ --- чётное, то пусть

$$ a = (1,2, \ldots,n) $$

и

$$ b = (n,n-2,\ldots,4,1,n-1,n-3,\ldots,3,2) $$

Тогда $a^2b = (1,2)$.

Не получается, кстати.

Странно, у меня вроде получилось.

ShMaxG писал(а):

Наверно так:

\[ \begin{gathered} ...\\ a^2 = (1,3,...,n - 1) \hfill \\ ...\]

Нет, не так.

[ShMaxG]

Нет, хоть убейте, ничего не получается, ни насчет нечетного порядка, ни насчет четного((

Добавлено спустя 26 минут 31 секунду:

\[ \begin{gathered} a = (1,2,...,n) \hfill \\ a^2 = (1,3,...,n - 1) \hfill \\ b = (n,n - 2,...,4,1,n - 1,n - 3,...,3,2) \hfill \\ a^2 b = (1,3,...,n - 1)(n,n - 2,...,4,1,n - 1,n - 3,...,3,2) = \hfill \\ = (1,2,n,n - 2,...,4) \hfill \\ \end{gathered} \]

[Trotil]

ShMaxG писал(а):

Нет, хоть убейте, ничего не получается, ни насчет нечетного порядка, ни насчет четного((

Добавлено спустя 26 минут 31 секунду:

\[ \begin{gathered} a = (1,2,...,n) \hfill \\ a^2 = (1,3,...,n - 1) \hfill \\ b = (n,n - 2,...,4,1,n - 1,n - 3,...,3,2) \hfill \\ a^2 b = (1,3,...,n - 1)(n,n - 2,...,4,1,n - 1,n - 3,...,3,2) = \hfill \\ = (1,2,n,n - 2,...,4) \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} a = (1,2,...,n) \hfill \\ a^2 = (1,3,...,n - 1) (2,4,...,n) \hfill \\ b = (n,n - 2,...,4,1,n - 1,n - 3,...,3,2) \hfill \\ a^2 b = (1,3,...,n - 1)(2,4,...,n)(n,n - 2,...,4,1,n - 1,n - 3,...,3,2) = \hfill \\ = (1,2) \hfill \\ \end{gathered} \]

[ShMaxG]

Все,я нашел ошибку, спасибо.