группа перестановок

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить следующую задачу:

1)Доказать, что перестановки порядка 12 порождают симметрическую группу

\[S_{12} \]

2) Порождают ли перестановки порядка 11 группу

\[S_{11} \]

?

Как это проверяется? Может быть есть алгоритм или критерий проверки?

[Профессор Снэйп]

Для любого натурального $n$ группа $S_n$ порождается транспозициями. Значит, для любого $X \subseteq S_n$ множество $X$ порождает $S_n$ тогда и только тогда, когда любую транспозицию можно выразить через элементы $X$.

Мы считаем, то $n \geqslant 3$ (случаи $n=1$ и $n=2$ тривиальны). В нашем случае $X$ состоит из всех перестановок порядка $n$.

Так как для любых $x, y \in \{ 1, \ldots, n \}$ существует $g \in S_n$, такое что $(x,y) = g^{-1}(1,2)g$, то достаточно доказать, что перестановка $(1,2)$ выражается черех элементы $X$.

Если $n$ --- нечётное, то любая перестановка порядка $n$ из $S_n$ принадлежит $A_n$. Однако транспозиция $(1,2)$ является нечётной перестановкой и, значит, не может выражаться через элементы $X$.

Таким образом, для нечётного $n$ группа $S_n$ не порождается перестановками порядка $n$.

Для чётного $n$ сейчас ещё чуть-чуть подумаю...

[ShMaxG]

Цитата:

Так как для любых $x, y \in \{ 1, \ldots, n \}$ существует $g \in S_n$, такое что $(x,y) = g^{-1}(1,2)g$

.

Почему? И что такое

\[ A_n \]

?

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Цитата:

Так как для любых $x, y \in \{ 1, \ldots, n \}$ существует $g \in S_n$, такое что $(x,y) = g^{-1}(1,2)g$

.

Почему? И что такое

\[ A_n \]

?

$A_n$ --- это группа чётных перестановок порядка $n$. Про неё в любом курсе алгебры в самом первом семестре рассказывают.

А к чему относится Ваше "почему"? Что непонятно? Что $g$ существует или что-то другое?

[ShMaxG]

да, что g существует. что-то не очевидно

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

да, что g существует. что-то не очевидно

Перестановка $g$ равна $(1,x)(2,y)$.

Добавлено спустя 8 минут 1 секунду:

Про $A_n$ вот здесь написано.

[ShMaxG]

А почему вы выбрали именно

\[ (1,2) \]

?

Кстати, если

\[x = 2\]

, а

\[y = 3\]

, то

\[(2,3) \ne (132)(12)(123)\]

, где

\[g = (12)(23) = (123)\]

, а

\[ g^{ - 1} = (132) \]

[Профессор Снэйп]

Ага! Вроде всё понял.

Если $n \geqslant 4$ --- чётное, то пусть

$$ a = (1,2, \ldots,n) $$

и

$$ b = (n,n-2,\ldots,4,1,n-1,n-3,\ldots,3,2) $$

Тогда $a^2b = (1,2)$.

Ларчик просто открывался

Добавлено спустя 3 минуты 50 секунд:

ShMaxG писал(а):

Кстати, если

\[x = 2\]

, а

\[y = 3\]

, то

\[(2,3) \ne (132)(12)(123)\]

, где

\[g = (12)(23) = (123)\]

, а

\[ g^{ - 1} = (132) \]

?? $(1,2)(2,3) = (1,3,2) \neq (1,2,3)$. Всю жизнь так считал.

Может, Вы перемножаете перестановки не слева направо, а справа налево? В таком разе просто переставьте всё задом наперёд.

Добавлено спустя 1 минуту 52 секунды:

ShMaxG писал(а):

А почему вы выбрали именно

\[ (1,2) \]

?

А какая разница? Не нравится $(1,2)$ --- выберите $(2,3)$ (или $(1,3)$ или вообще какую угодно транспозицию).

[Echo-Off]

Профессор Снэйп писал(а):

Может, Вы перемножаете перестановки не слева направо, а справа налево? В таком разе просто переставьте всё задом наперёд.

Вообще, перестановки справа налево и перемножаются

[RIP]

На самом деле есть две школы перемножения подстановок. Иногда удобно перемножать справа налево, иногда наоборот.

[ShMaxG]

Ага, а можно как-нибудь быстро доказать, что

\[ (x,y) = g^{ - 1} (1,2)g \]

верно для

\[ g = (1,x)(2,y) \]

,а то не хочется пересматривать все случаи x и y?

[RIP]

Кстати, как раз в случае $x=2,y=3$ это равенство неверно .

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Ага, а можно как-нибудь быстро доказать, что

\[ (x,y) = g^{ - 1} (1,2)g \]

верно для

\[ g = (1,x)(2,y) \]

,а то не хочется пересматривать все случаи x и y?

Можно привести доказательство, состоящее из одного слова "очевидно"

Перестановка $g$ --- это просто биекция $\{ 1,\ldots, n\}$ на себя, "отождествляющая" $1$ с $x$ и $2$ с $y$. Если перестановка $h$ меняет местами $1$ и $2$, то для любой перестановки $g \in S_n$ перестановка $g^{-1}hg$ будет менять местами $g(1)$ и $g(2)$

Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды:

RIP писал(а):

Кстати, как раз в случае $x=2,y=3$ это равенство неверно .

Кстати, да

В качестве $g$ годится любая перестановка со свойствами $g(1)=x$ и $g(2)=y$. А тут получается $g(1)=y \neq x$.

Добавлено спустя 2 минуты 28 секунд:

Echo-Off писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Может, Вы перемножаете перестановки не слева направо, а справа налево? В таком разе просто переставьте всё задом наперёд.

Вообще, перестановки справа налево и перемножаются

У нас на первом курсе перемножали слева направо.

Вообще, RIP правильно сказал. Существуют две школы: одна перемножает перестановки слева направо, другая справа налево. Понятно, что принципиальной разницы нет никакой

[ShMaxG]

Цитата:

Перестановка $g$ --- это просто биекция $\{ 1,\ldots, n\}$ на себя, "отождествляющая" $1$ с $x$ и $2$ с $y$. Если перестановка $h$ меняет местами $1$ и $2$, то для любой перестановки $g \in S_n$ перестановка $g^{-1}hg$ будет менять местами $g(1)$ и $g(2)$ Smile

слушай-ка, гениально)
спасибо большое, сейчас еще все обдумаю

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

Можно привести доказательство, состоящее из одного слова "очевидно"

Халмош писал(а):

Есть еще и другое правило, главное; его знает каждый; нарушение этого правила — самый частый источник математических ошибок; удостоверьтесь в том, что «очевидное» — верно.

(см. Халмош, Как писать математические тексты, предпоследний абзац п.9).