Диф. уравнение в частных производных с дельта-функцией.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1164079 писал(а):

Поэтому заменить $\delta$ образный потенциал к чистой $\delta$ можно только в одномерном случае.

Ну что ж, я был неправ. А как заменяются $\delta$-образные потенциалы в многомерном случае?

[dsge]

Red_Herring в сообщении #1164088 писал(а):

Ну так она равна произведению одномерных (произведение обобщенных функций разных переменных определяется канонически).

Да, интегралы определены. Смутила нелинейность.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1164089 писал(а):

А как заменяются $\delta$-образные потенциалы в многомерном случае?

Не знаю. Но если бы я решал бы эту задачу, то модифицировал бы ее так: заменил бы $\delta u$ на $c_n\varepsilon^{-n}\theta (\varepsilon^{-1}r)u(0)$:

$$-\Delta u -\beta c_n\varepsilon^{-n}\theta (\varepsilon^{-1}r)u(0)=f$$

где $\theta(t)=1$ при $t\le 1$, $\theta(t)=0$ при $t> 1$, и решил бы ее через потенциал, считая $u(0)$ заданным, потом бы получил уравнение для $u(0)$ и нашел бы асимптотику по $\varepsilon$, а потом бы уже начал думать как правильно переформулировать задачу.

[Munin]

Хм. $u(0)$ некрасиво выглядит, как нелокальный оператор.

[Red_Herring]

Зато проще с вычислительной точки зрения.

Можно также взять дельта потенциал, но заменить $u$ на осреднение по шару радиуса $\varepsilon$.

[Munin]

Вычислительно-то это красиво, это концептуально некрасиво.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1164193 писал(а):

Вычислительно-то это красиво, это концептуально некрасиво.

Я сам нелокальных операторов не люблю. Но тут если хотим что-то подобное то либо дельтаобразный потенциал с пространственным размером $\varepsilon$, либо вместо $u(x)$ какое-либо осреднение с тем же пространственным размером; в любом случае стоит посчитать асимптотику и, вероятно, в случаях $n=2,3$ второй член от параметра зависеть не будет, а первый отбросим и назовем эту процедуру каким нибудь красивым словом вроде ренормализации или перенормировки

[g______d]

Если что, то это довольно классическая задача, описанная, например, в книге Альбеверио, Гестези, Хёэг-Крона, и Хольдена "Решаемые модели в квантовой механике" в разделе I.5.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1164088 писал(а):

Поэтому для Шрёдингера точечный потенциал рассматривают только в размерности 1

Ну это если подходить с точки зрения квадратичных форм.

Вообще же, можно рассматривать оператор $-\Delta$ на $C_0^{\infty}(\mathbb R^d\setminus \{0\})$ и задаться вопросом, какие у него могут быть самосопряжённые расширения. При $d=1$ всё понятно, хоть теоремы вложения, хоть теория Штурма-Лиувилля; оказывается, что при $d\ge 4$ оператор в существенном самосопряжён, поэтому, действительно, никакого точечного потенциала не бывает. А вот при $d=2$ или $d=3$ ответ нетривиален (см. ссылку). Впрочем, скорее всего, он так или иначе сводятся к перенормировкам, наподобие предложенной Вами.

[Munin]

Я объясню. Есть уравнения типа Д'Аламбера или Клейна-Гордона с точечным источником (в пространстве-времени одномерная линия вдоль оси $t$). Так в физике выглядят поля электромагнитного, слабого, иногда - сильного взаимодействия, для одиночной частицы. Если рассмотреть источник в большем масштабе, то он может стать шариком конечного радиуса, но всё равно пренебрежимо малого по сравнению с областью, на которую простирается решение вне источника.

Вот такие решения хотелось бы переложить на язык "частица в потенциале".

[Red_Herring]

Munin
О чем речь? О точечном источнике, или о точечном потенциале? Кулоновский потенциал от точечного источника отнюдь не точечный сам по себе.

Но если речь идет о точечном потенциале, то есть большая разница с точки зрения математики между "пренебрежимо малым" и "нулем"

-- 30.10.2016, 06:14 --

g______d в сообщении #1164281 писал(а):

Ну это если подходить с точки зрения квадратичных форм.

Вообще же, можно рассматривать оператор $-\Delta$ на $C_0^{\infty}(\mathbb R^d\setminus \{0\})$ и задаться вопросом, какие у него могут быть самосопряжённые расширения.

Можно. И тогда в размерностях $\ge 4$ оператор будет действительно самосопряжен (после замыкания), в размерности 1 дефект будет $p=2$ ($u(0)=u'(0)=0$), а в размерностях 2,3 дефект будет $p=1$ ($u(0)=0$) и соответственно будет $p$ параметрическое семейство самосопряженных расширений. Но в размерности 1 первый параметр можно ввести через потенциал $\beta \delta $, а второй через потенциал $\gamma \delta '$ не получится; а в размерностях 2,3 первый параметр ввести через потенциал $\beta \delta $ уже не получается. По-другому нада

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1164338 писал(а):

И тогда в размерностях $\ge 4$ оператор будет действительно самосопряжен (после замыкания), в размерности 1 дефект будет $p=2$ ($u(0)=u'(0)=0$), а в размерностях 2,3 дефект будет $p=1$ ($u(0)=0$) и соответственно будет $p$ параметрическое семейство самосопряженных расширений. Но в размерности 1 первый параметр можно ввести через потенциал $\beta \delta $, а второй через потенциал $\gamma \delta '$ не получится; а в размерностях 2,3 первый параметр ввести через потенциал $\beta \delta $ уже не получается. По-другому нада

Да (только в размерности 1 семейство четырёхпараметрическое).

Но я скорее к тому, что по ссылке в книжке ответ не просто на вопрос "можно ли и если да то как определить $\delta$-потенциал", а на вопрос "каким вообще может быть самосопряжённый оператор, совпадающий с свободным Лапласом вне нуля". А после того, как мы описали все такие операторы (их немного), можно уже разбираться, какой из них может претендовать на роль перенормированного $\delta$-потенциала.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1164429 писал(а):

Да (только в размерности 1 семейство четырёхпараметрическое).

Действительно, потому что надо считать размерность семейства унитарных 2х2 матриц.

Цитата:

совпадающий с свободным Лапласом вне нуля

Не совсем так: совпадающий на функциях, обращающихся в 0 в нуле (с модификацией в 1-мерном случае). Все эти операторы, кроме чистого Лапласиана--нелокальные.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1164433 писал(а):

Не совсем так: совпадающий на функциях, обращающихся в 0 в нуле (с модификацией в 1-мерном случае).

Да, более точно, имелось в виду даже формально более слабое условие: самосопряжённый оператор в $L^2(\mathbb R^d)$, действие которого на функциях из $C_0^{\infty}(\mathbb R^d\setminus \{0\})$ совпадает с действием обычного Лапласа.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1164338 писал(а):

О чем речь? О точечном источнике, или о точечном потенциале? Кулоновский потенциал от точечного источника отнюдь не точечный сам по себе.

Да, кулоновский потенциал не точечный. Но его, сам по себе, можно представить себе как результат излучения неких частиц (виртуальных фотонов) из точечного источника. А эти самые частицы - сами подчиняются волновому уравнению (Максвелла, но если упростить, Д'Аламбера), и в этих уравнениях тоже можно усмотреть аналогию "кинетической и потенциальной части" (например, потенциальная часть для фотонов - для обычных оптических фотонов - связана с показателем преломления среды).

Red_Herring в сообщении #1164338 писал(а):

Но если речь идет о точечном потенциале, то есть большая разница с точки зрения математики между "пренебрежимо малым" и "нулем"

В общем, я рассказал как есть. И хотелось бы услышать, чего математика на эту тему думает.