Кардиналы

[Dan B-Yallay]

Я в очередной раз заплутал в трех соснах.

Задача.
Мама-чертиха дает сыну-чертенку пустую ленточку бесконечной длины. Чертенок не знает что с ней делать, поэтому за час до обеда мама дает ему еще одну такую же новую ленту.
Чертенок рисует нолик на той ленте, которая у него уже была и единичку на новой
$(0).................old...................... \qquad \qquad \qquad \qquad(1)............new......................$

За полчаса до обеда мама дает ему теперь две новые ленточки. Чертенок делает копии каждой из предыдущих лент,
$0................................................. \qquad \qquad \qquad \qquad 0.................copy...............$
$1................................................. \qquad \qquad \qquad \qquad 1................copy.............. $

а затем дописывает по нолику на (теперь уже две) старые ленты и по единичке на новые

$0(0)...........old.......................... \qquad \qquad \qquad \qquad 0(1).................new...............$
$1(0)...........old.......................... \qquad \qquad \qquad \qquad 1(1)................new.............. $

За треть часа мама дает уже четыре ленты и все повторяется: делаются копии, на старых ставятся нолики, на новых единички

$00(0)............old......................... \qquad \qquad \qquad \qquad 00(1)...........new................$
$10(0)............old......................... \qquad \qquad \qquad \qquad 10(1)............new................. $
$01(0)............old......................... \qquad \qquad \qquad \qquad 01(1)..........new..................$
$11(0)............old......................... \qquad \qquad \qquad \qquad 11(1)..........new..................$

За четверть часа добавляются восемь лент и так далее....
Как много ленточек будет у чертенка ровно в обед?

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Я в очередной раз заплутал в трех соснах.

...

Как много ленточек будет у чертенка ровно в обед?

Cчётное число, то есть $\omega$ (или $\aleph_0$, кому как больше нравится).

На каждом шаге у чертёнка конечное число ленточек. Всего счётное число шагов. Объединение счётного числа конечных (даже счётных) множеств счётно

Рассмотрим полное бинарное дерево. В нём счётное число вершин и континуум ветвей. Количество ветвей не равно количеству вершин, ветвь --- это подмножество множества вершин, а не вершина!

Кстати, множество ветвей полного бинарного дерева --- эта пример континуального семейства подмножеств счётного множества, в котором пересечение любых двух элементов конечно.

[Dan B-Yallay]

Я тоже это проходил на первом курсе.
А какова мощность множества бесконечных последовательностей из нулей и единиц ? И каких последовательностей у чертенка не окажется?

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Я тоже это проходил на первом курсе.
А какова мощность множества бесконечных последовательностей из нулей и единиц ? И каких последовательностей у чертенка не окажется?

Пока добавлял, Вы уже ответили. См. конец предыдущего сообщения.

[Dan B-Yallay]

А в задачке случайно КАЖДОЙ ветке не соответствует одна лента?

[Профессор Снэйп]

У чертёнка не окажется ленточек, на которых присутствует бесконечное множество единиц

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

Dan B-Yallay писал(а):

А тут случайно каждой ВЕТКЕ не соответствует одна лента?

Нет, это не так. Посмотрите внимательно на процесс. На каждой ленте, которая на каком-либо шаге оказывается у чертёнка, с некоторого места стоят одни нули.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

У чертёнка не окажется ленточек, на которых присутствует бесконечное множество единиц

Это почему?

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Это почему?

Уже объяснил. Или всё равно непонятно?

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

У чертёнка не окажется ленточек, на которых присутствует бесконечное множество единиц
На каждой ленте, которая на каком-либо шаге оказывается у чертёнка, с некоторого места стоят одни нули.

Зато на новых стоят единички

Попробую перенести задачу Литтлвуда с шарами на прописывание единичек на новой ленте. Вытаскивание шара - написание единички на новой ленте. К обеду все шары будут вытащены => будет лента с единичками.

PS Да, честно говоря, все еще путаюсь в этих процессах.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

У чертёнка не окажется ленточек, на которых присутствует бесконечное множество единиц
На каждой ленте, которая на каком-либо шаге оказывается у чертёнка, с некоторого места стоят одни нули.

Зато на новых стоят единички

А что значит "новая лента"? Каждая лента на каком-то одном шаге становится "новой", а после этого на всех последующих шагах уже является "старой".

Dan B-Yallay писал(а):

Попробую перенести задачу с шарами на прописывание единичек на новой ленте. Вытаскивание шара - написание единички на новой ленте. К обеду все шары будут вытащены => будет лента с единичками.

Бр-р-р... Шары Вы каждый раз вытаскиваете из одного и того же ящика, а ленту для очередной единички вводите новую!

Правильно сказать так: найдётся последовательность лент $l_0, l_1, \ldots$, такая что для любого $i \in \mathbb{N}$ на ленте $l_i$ на $i$-ом месте стоит единичка. Ну и что? Последовательностей, составленных из лент (в отличие от самих лент) как раз континуум.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Бр-р-р... Шары Вы каждый раз вытаскиваете из одного и того же ящика, а ленту для очередной единички вводите новую!

Профессор Снэйп писал(а):

Правильно сказать так: найдётся последовательность лент $l_0, l_1, \ldots$, такая что для любого $i \in \mathbb{N}$ на ленте $l_i$ на $i$-ом месте стоит единичка. Ну и что? Последовательностей, составленных из лент (в отличие от самих лент) как раз континуум.

С этим полностью согласен.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Бр-р-р... Шары Вы каждый раз вытаскиваете из одного и того же ящика, а ленту для очередной единички вводите новую!

Пока что не прочувствоал принципиальной разницы.

??? Я вот, напротив, пока что не почувствовал принципиального сходства. Одни различия!

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Бр-р-р... Шары Вы каждый раз вытаскиваете из одного и того же ящика, а ленту для очередной единички вводите новую!

Пока что не прочувствоал принципиальной разницы.

??? Я вот, напротив, пока что не почувствовал принципиального сходства. Одни различия!

Пусть чертенок сидит в корзине. Мама на каждом шаге вместе с лентами закидывает в корзину по 10 пронумерованных шаров. Чертенок проставляет $N$ ную единичку на новых лентах и выкидывает шар под номером $N$.

[Профессор Снэйп]

Проведите два мысленных эксперимента.

Опыт 1. В ящике лежат числа $0,1,2, \ldots$. На шаге $t$ оттуда извлекается число $t$. После завершения всех шагов остаётся пустой ящик.

Опыт 2. Есть счётное число ящиков $B_0, B_1, \ldots$, в каждом из которых перед началом эксперимента лежат все натуральные числа. На шаге $t$ из ящика $B_t$ извлекается число $t$. После завершения всех шагов в каждом из ящиков остаётся счётное количество чисел.

Чувствуете разницу?

Добавлено спустя 2 минуты 47 секунд:

Dan B-Yallay писал(а):

Пусть чертенок сидит в корзине. Мама на каждом шаге вместе с лентами закидывает в корзину по 10 пронумерованных шаров. Чертенок проставляет $N$ ную единичку на новых лентах и выкидывает шар под номером $N$.

И что? Ленты отдельно, а корзины отдельно. Из того, что чертёнок выполняет на каждом шаге два действия сразу, результат каждого из них не меняется.

Попробуйте в описанных выше двух опытах выполнять процессы параллельно. Что от этого изменится? Ничего! Результаты у обоих процессов будут теми же самыми.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Проведите два мысленных эксперимента.

Опыт 1. В ящике лежат числа $0,1,2, \ldots$. На шаге $t$ оттуда извлекается число $t$. После завершения всех шагов остаётся пустой ящик.

Опыт 2. Есть счётное число ящиков $B_0, B_1, \ldots$, в каждом из которых перед началом эксперимента лежат все натуральные числа. На шаге $t$ из ящика $B_t$ извлекается число $t$. После завершения всех шагов в каждом из ящиков остаётся счётное количество чисел.

Чувствуете разницу?

Да, но это объяснение того, с чем я уже согласился.

Профессор Снэйп писал(а):

Правильно сказать так: найдётся последовательность лент $l_0, l_1, \ldots$, такая что для любого $i \in \mathbb{N}$ на ленте $l_i$ на $i$-ом месте стоит единичка. Ну и что? Последовательностей, составленных из лент (в отличие от самих лент) как раз континуум.


С этим полностью согласен.