2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел последовательности обобщённых функций
Сообщение28.10.2016, 13:54 


28/10/16
1
Здравствуйте. Необходимо найти предел последовательности обобщённых функций на $D'(\mathbb{R})$:
$\lim\limits_{k\to\infty}{\frac{e^i^k^x}{x+i0}}$.
В указании рекомендуется применить формулу Сохоцкого:
$\frac{1}{x+i0}=P\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$.
Я начал так:
$\left\langle\lim\limits_{k\to\infty}{\frac{e^i^k^x}{x+i0}},\varphi\right\rangle=\lim\limits_{k\to\infty}{\left\langle e^i^k^xP\frac{1}{x}-e^i^k^xi\pi\delta(x),\varphi(x)\right\rangle}$.
Пришёл к такому выражению:
$\lim\limits_{k\to\infty}{\lim\limits_{\varepsilon\to+0}{\int\limits_{\varepsilon<\left\lvert x\right\rvert<A}{\frac{\varphi (x)e^i^k^x}{x}dx-i\pi\varphi(0)}}}$.
Что делать дальше? В ответе должен получиться ноль.
Это задание есть, например, в учебном пособии В. А. Александрова "Обобщённые функции" 2005 года, страница 14 упражнение 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности обобщённых функций
Сообщение28.10.2016, 16:58 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
Можно расписать интеграл слева как
$$
\int\limits_{\varepsilon<\left\lvert x\right\rvert<A}\frac{(\varphi (x)-\varphi (0))\cos (k x)}{x}\,dx+
i\int\limits_{\varepsilon<\left\lvert x\right\rvert<A}\frac{\varphi (x)\sin (k x)}{x}\,dx.
$$
Достаточно доказать, что предел первого интеграла ноль, а для второго свести все к интегралу Пуассона $\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin k x}x\,dx=\pi$. Еще можно записать так: $\frac{\sin k x}x\to \pi\delta(x)$, $k\to\infty$, в $D'(\mathbb R)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: confabulez


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group