Предел последовательности обобщённых функций

[Alex Smith]

Здравствуйте. Необходимо найти предел последовательности обобщённых функций на $D'(\mathbb{R})$:
$\lim\limits_{k\to\infty}{\frac{e^i^k^x}{x+i0}}$.
В указании рекомендуется применить формулу Сохоцкого:
$\frac{1}{x+i0}=P\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$.
Я начал так:
$\left\langle\lim\limits_{k\to\infty}{\frac{e^i^k^x}{x+i0}},\varphi\right\rangle=\lim\limits_{k\to\infty}{\left\langle e^i^k^xP\frac{1}{x}-e^i^k^xi\pi\delta(x),\varphi(x)\right\rangle}$.
Пришёл к такому выражению:
$\lim\limits_{k\to\infty}{\lim\limits_{\varepsilon\to+0}{\int\limits_{\varepsilon<\left\lvert x\right\rvert<A}{\frac{\varphi (x)e^i^k^x}{x}dx-i\pi\varphi(0)}}}$.
Что делать дальше? В ответе должен получиться ноль.
Это задание есть, например, в учебном пособии В. А. Александрова "Обобщённые функции" 2005 года, страница 14 упражнение 11.

[Vince Diesel]

Можно расписать интеграл слева как

$$ \int\limits_{\varepsilon<\left\lvert x\right\rvert<A}\frac{(\varphi (x)-\varphi (0))\cos (k x)}{x}\,dx+ i\int\limits_{\varepsilon<\left\lvert x\right\rvert<A}\frac{\varphi (x)\sin (k x)}{x}\,dx. $$

Достаточно доказать, что предел первого интеграла ноль, а для второго свести все к интегралу Пуассона $\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin k x}x\,dx=\pi$. Еще можно записать так: $\frac{\sin k x}x\to \pi\delta(x)$, $k\to\infty$, в $D'(\mathbb R)$.