|
после долгого периода сильной занятости стала я, наконец, просматривать книгу
Laurent HUA
Jean ROUSSEAU
Fermât a-t-il démontré
don grand théorème ?
L'hypothèse « Pascal »
-- название переводится 'Доказал ли Ферма свою великую теорему'.
Книга состоит из двух частей.
Первая, написанная Жаном Руссо,
слабо отличается от имеющихся биографий ПФ. Будучи написанной в конце 20 в., она содержит традиционную ошибку в годе рождения ПФ . Однако,
переходя к описанию научной деятельности, Руссо приводит французский перевод предисловия к изданию Диофанта 1670 (иногда пишут 1669) года.
Это интересно, поскольку в доступных в сети экземплярах оно практически нечитаемо. Привожу французский текст.
« Savant lecteur,
Il suffit qu'en tête de cet Ouvrage apparaisse le nom de Fermât,
pour que vous attendiez quelque chose de grand ; un tel homme
n 'a rien pu imaginer qui soit petit, rien même qui soit médiocre ;
son esprit était illuminé de tant de clartés qu'il ne souffrait rien
d'obscur ; vous eussiez dit un soleil qui en un instant dissipe les
ténèbres, et dont les rayons innombrables portent une éclatante
lumière au sein même des abîmes. Jusqu'à présent Diophante a
provoqué, et cela ajuste titre, une admiration universelle ; mais,
pour grand qu 'il soit, ce n 'est qu pygmêe par rapport à notre
géant, qui a accompli le tour immense du monde mathématique et
parcouru de nouvelles régions inconnues à tout autre...
Mais pour ne pas recommander par son nom seul ce petit Traité,
je veux dire maintenant en quelques mots quelles récentes
découvertes lui sont dues et quelle en est la portée. En premier
lieu, il y a certaines équations doubles difficiles pour lesquelles
les analystes n'ont pu jusqu'à présent trouver qu'une solution
unique ; Bachet lui-même affirme qu 'on ne peut en trouver deux, tandis que Fermât va en donner tout à l'heure une infinité, sans
être arrêté par les nombres faux et plus petits que zéro qui se
présentent souvent dans les calculs de ce genre ; il les soumettra
en effet à un subtil traitement qui les réduit immédiatement à des
nombres vrais. En second lieu, personne, que je sache, n 'a encore
résolu d'équation triple, à moins de l'avoir d'avance formée
artificiellement et combinée de telle sorte que la solution
apparaisse immédiatement, même aux yeux des novices ; Fermât
a trouvé une méthode singulière pour résoudre les équations
arbitrairement proposées de ce genre, en exceptant un seul cas
que nous indiquerons ci-après. En troisième lïèu, qui jamais a
donné autant de solutions que l'on veut pour les expressions
composées de cinq termes de degrés successifs ? Qui, des racines
primitives, a su en tirer de dérivées du premier ordre, du second,
du troisième, et ainsi de suite indéfiniment ? Personne sans
doute ; à Fermât seul appartient cette découverte. »
Нам может показаться удивительным, что К-С, перечисляя наиболее замечательные достижения
отца,
ни словом не упоминает знаменитое замечание на полях.
Но с точки зрения современников ПФ, его исследования по теории чисел были маргинальными (!)
на фоне его других вйкладов в математику, в особенности, в анализ. Э
тот факт подтверждается и надписью на могильном камне,
приведенной выше,
и некрологом в 'журнале ученых' (Journale des savants).
Далее в книге обсуждается судьба рукописей и библиотеки ПФ.
ЗДесь автор, Руссо приводит несколько интересных фактов.
Во-первых, вроде бы, К-С продал библиотеку своего отца.
С другой стороны, Каркави сыграл немалую роль в составлении двух томов
трудов ПФ, 1670 и 1679 годов. Однако, он был связан обетом молчания, и никакие сведения о работе не просочились наружу.
Некоторую роль сыграл также Николя Туанар, близкий к семье Паскаля.
Затем Руссо обсуждает эпистолярную активность ПФ, а также изменения в составе его корреспондентов.
Далее осуждаются маргинальные замечания к Диофанту.
Principales lacunes de ces notes, l'absence de toute référence à la
date de leur rédaction, de toute allusion à la correspondance de
Fermât et surtout leur laconisme, une seule conjecture avancée par
Fermât ayant à ses yeux mérité d'être suivie d'une démonstration
digne de ce nom35. Non qu'il s'agisse là d'une attitude prudente ou
désinvolte, car toutes les conjectures proposées ont été démontrées...
y compris, mais avec quelque délai... celle du Grand Théorème !
Comme, en outre, Fermât ne fait jamais allusion aux
contributions des autres savants de l'antiquité et du siècle (à
l'exception de Bachet qui, avant lui, osa commenter les problèmes de
Diophante), il est difficile de saisir le statut des notes de Fermât,
pour autant qu'elles aient eu toutes le même statut. Mais, à la façon
dont il traite sévèrement les observations de Bachet, on pressent que,
pour Fermât, seul était légitime son face-à-face avec Diophante. En
ce sens, Fermât s'inscrivait avant tout - mieux que Bachet - comme
la quasi réincarnation du savant grec.
Trois remarques factuelles peuvent cependant éclaircir la relation
de Fermât aux Arithmetica :
• La première est que seul un quart des problèmes proposés par
Diophante ont fait l'objet d'une note « en marge ». Fermât ne paraît
pas s'être systématiquement penché sur toutes les entrées, ni surtout
soucié de leur ordre de succession : on relève des renvois d'une note
à l'autre, qu'elles se suivent ou se précèdent. D'autre part, Fermât
qui cherche à éviter les redites, montre qu'il dominait totalement le
contenu du livre et qu'il avait en tête les commentaires rédigés
antérieurement.
Подчеркнуто, таким образом, что никакой датировки этих замечаний нет. Более того,
появлялись эти замечания не в порядке их расположения, а как-то по-другому,
о чем могут служить перекрестные ссылки. Руссо отмечает, что за очень редкими исключениями доказательства
отсутствуют.
Характерно также, что ПФ никогда не ссылается на других ученых древности или нового времени. Возможно, ПФ попросту не был в достаточной степени начитан.
Менее четверти задач Диофанта оказались предметом замечаний ПФ. На этом основании, а также из хронологической непоследовательности, Руссо делает вывод, что ПФ не изучал Диофанта последовательно, а открывал время от времени, на случайных местах,
не возвращаясь к уже рассмотренным вопросам. Такое понимание привело Уа к парадоксальной гипотезе о датировке знаменитого замечания. Но об этом позже.
|
Диофанта, я хотел было все стереть, так как на самом деле эта задача не сводится к вопросу, решение которого мы дали. Однако, если мы и ошиблись в сведении одного вопроса к другому, тем не менее этот последний был решен правильно; наш труд был скорее не потерян, а неудачно помещен, поэтому мы его оставляем таким, каким мы его написали на полях. 
): 
. — И. Б.] Баше, как и в предыдущем случае, оставил в стороне метод Диофанта, который нужно еще выявить и объяснить. Нужно найти два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катета и гипотенузы одного из них имело заданное отношение к произведению катета и гипотенузы другого. Этот вопрос долго нас мучил, и тот, кто попробует его решить, сможет убедиться, что он действительно труден, но наконец был открыт метод общего его решения. Пусть требуется найти два треугольника таких, что произведение катета и гипотенузы одного из них вдвое больше 
и 
, а другой — из чисел 
. Для первого треугольника произведение катета на гипотенузу будет 
а для второго — произведение катета на гипотенузу будет 
было вдвое больше произведения 
; следовательно, 
на 
будет квадратом, то задача будет иметь решение. Значит, нужно найти два числа, 
, второе же 
. Удвоенный куб первого минус куб второго даст 
. Удвоенное же второе минус первое 
. 
,которое можно приравнять квадрату на 
. Остальное не составит труда. Чтобы распространить этот метод на случай произвольного отношения, достаточно взять в качестве одного из искомых чисел 
плюс избыток большого члена отношения над меньшим, а в качестве второго числа — сам этот избыток, что мы и сделали для отношения 
к 
к 
. Вот два таких треугольника: 
».