Предел последовательности

[bayah]

12d3 в сообщении #1162564 писал(а):

Задача-минимум: найти $\lim\limits_{n\to \infty}\left(\pi \sqrt{4n^2+n} - 2\pi n\right)$

$ \\ \sqrt{4n^2+n} - 2 n = \sqrt{(2n)^2(1+\dfrac{1}{4n})} - 2n = 2n (\sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} - 1) = 2n \dfrac{(\sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} - 1) (\sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} + 1)}{(\sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} + 1)} = 2n \dfrac{((1+\dfrac{1}{4n}) - 1)}{(\sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} + 1)} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{(\sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} + 1)}$.


$ \\ \lim\limits_{n\to \infty}\left(\pi \sqrt{4n^2+n} - 2\pi n\right) = \lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}}{(\sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} + 1)}\right) = \dfrac{\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\pi}{2}} {\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{(1+\dfrac{1}{4n})} + 1} = \dfrac{\pi}{4}$

Так?

[Otta]

Можно и так. Ну а теперь с синусом, главную задачу.

[bayah]

Otta в сообщении #1162996 писал(а):

bayah в сообщении #1162985 писал(а):

А что не так в моем решении, в котором я получаю решение $0$, там же не возникает такой запрещенной операции?

Щас спою.
$\lim_{n\to\infty}\bigl(n\bigl(1+\dfrac 1n\bigr)-n\bigr)=\lim_{n\to\infty} (n-n)=0$, так как $\bigl (1+\dfrac 1n\bigr)$ стремится к единице. Верно? Нет? Почему?

Тут нельзя разделить последовательность на произведение последовательностей. То есть можно, но только так:
$\lim_{n\to\infty}\bigl(n\bigl(1+\dfrac 1n\bigr)-n\bigr) = \lim_{n\to\infty}\bigl(n\bigl(1+\dfrac 1n - 1\bigr)\bigr) = \lim_{n\to\infty} n \cdot \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\dfrac 1n - 1\bigr) = \infty \cdot 0$

В моем же случае было так:

$\lim_{n\to\infty} \big(2n\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}\big) = \lim_{n\to\infty}(2n) \cdot \lim_{n\to\infty}(\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}) = \infty \cdot 1$
И вот тут вроде все норм, по-моему?

-- 25.10.2016, 23:38 --

Otta в сообщении #1163004 писал(а):

Можно и так. Ну а теперь с синусом, главную задачу.

Ну к $\dfrac \pi 4$ стремиться аргумент синуса, т.к. $2\pi n$ - период синуса, и не влияет никак на значение синуса, то есть ответ в общей задаче будет просто $sin(\dfrac \pi 4)$. Верно?

[Otta]

bayah в сообщении #1163005 писал(а):

И вот тут вроде все норм, по-моему?

Это формально - разница. На самом деле, одно и то ж. Вы хватаете кусок выражения, в нем одном переходите к пределу, как будто Вам кто-то разрешал. Да,

bayah в сообщении #1163005 писал(а):

$\lim_{n\to\infty} \big(2n\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}\big) = \lim_{n\to\infty}(2n) \cdot \lim_{n\to\infty}(\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}) = \infty \cdot 1$

тут все верно. И если бы Вы ограничивались только этим, было бы верно. Но что же Вы тогда не считаете синус на бесконечности? Вы не посчитали предел, Вы перешли к пределу в одном из множителей (ровно в одном! какая теорема Вам это разрешила?), и никак теперь не обосновываете, что синус старого выражения и синус нового стремятся в одно и то же место (а позже обосновали, что вовсе и нет, вовсе не стремятся.)

Поэтому не надо в моем маленьком примерчике раскрывать скобки. Он был задуман именно в таком виде. (Кстати, чему предел-то там равен? а?) Не для того, чтобы Вы придумали, как это свести к такому виду, в котором его не считают: само по себе наличие такого воплощения ни о чем не говорит, поскольку известно, что подавляющее большинство известных задач на предельные переходы изначально имеют именно такой вид, и тем не менее, благополучно решается. А чтобы показать Вам, что Вы делаете: Вы нарушаете правила, и это ведет к фатальным последствиям. Почему Вы их нарушаете? Потому что недостаточно внимательно относитесь к условиям теорем о пределе произведения, суммы, композиции и проч.

Исходная задача будет решена верно, если Вы ее уже наконец верно оформите. Если Вы все эти словеса про период так в словесном виде преподавателю сдадите, он Вас не поймет.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

bayah
В некоторых случаях вот такие выкладки можно немного сократить если помнить приём под названием "умножение и деление на сопряженное"

$$\begin{align*}\sqrt{4n^2+n}-2n =(\sqrt{4n^2+n}-2n) \cdot \frac {\sqrt{4n^2+n}+2n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}&=\frac{4n^2+n-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n}\\ &=\frac n {\sqrt{4n^2+n}+2n}\\ &=\frac{n}{2n\left(\sqrt{1+\frac{1}{4n}}+1\right)}...\end{align*} $$

[bayah]

Dan B-Yallay в сообщении #1163081 писал(а):

bayah в сообщении #1163005

писал(а):
$\lim_{n\to\infty} \big(2n\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}\big) = \lim_{n\to\infty}(2n) \cdot \lim_{n\to\infty}(\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}) = \infty \cdot 1$
тут все верно. И если бы Вы ограничивались только этим, было бы верно. Но что же Вы тогда не считаете синус на бесконечности?

Нуу... тут если помнить, что $n$ - целое, и в целом аргумент синуса кратен двум, то можно по-моему говорить, что синус вот этого выражения $\lim_{n\to\infty} \big(\pi 2n\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}\big)$ стремиться к $0$, разве нет?
То есть хотите сказать, что неверно, что $\lim\limits_{n\to \infty}\sin(2 \pi n) = 0$ ?

Otta в сообщении #1163069 писал(а):

Вы не посчитали предел, Вы перешли к пределу в одном из множителей (ровно в одном! какая теорема Вам это разрешила?)

Почему одному из множителей? К пределу всего аргумента синуса, состоящего из двух множителей, пределы которых я указал.

Я понимаю, что таким образом я получаю не верный результат, но я не понимаю в чем именно ошибка?

-- 26.10.2016, 13:22 --

Dan B-Yallay в сообщении #1163081 писал(а):

(Оффтоп)

(Оффтоп)

А я не знал, что у этого есть название. Я просто называл это - какими нибудь преобразованиями)
Буду знать)
Вообще я слышал в англоязычной культуре много такого, всмысле именованных приемчиков, и вообще не обязательно в математике.

[Human]

bayah в сообщении #1163123 писал(а):

То есть хотите сказать, что неверно, что $\lim\limits_{n\to \infty}\sin(2 \pi n) = 0$ ?

Это то верно. Неверно, что

$\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(2\pi n+\frac{\pi}4\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sin(2\pi n)$

А Вы именно это и делаете, ведь, грубо говоря,

$2\pi n\sqrt{1+\frac1{4n}}\approx2\pi n+\frac{\pi}4$.

Ну и да, дублирую слова Otta о том, что Вам следовало бы получше изучить теоремы о предельных переходах. В частности, можно ли вообще переходить к пределу под знаком непрерывной функции, если эта функция не имеет предела на значении/пределе внутренней функции/последовательности.

Данный пример, имхо, как раз и показывает, что нет.

[bayah]

Human в сообщении #1163235 писал(а):

$2\pi n\sqrt{1+\frac1{4n}}\approx2\pi n+\frac{\pi}4$.

А как вы поняли, что там $\frac{\pi}4$, постфактум уже? После того когда правильный ответ известен?

Human в сообщении #1163235 писал(а):

В частности, можно ли вообще переходить к пределу под знаком непрерывной функции, если эта функция не имеет предела на значении/пределе внутренней функции/последовательности.

Что-то не слышал про такое, где почитать?)

[Otta]

bayah в сообщении #1163123 писал(а):

К пределу всего аргумента синуса, состоящего из двух множителей, пределы которых я указал.

Его не существует. Так куда Вы перешли? Или Вы искренне считаете, что предел аргумента синуса равен $2\pi n$?

bayah в сообщении #1163262 писал(а):

... где почитать?)

Теорема о пределе сложной функции. Учебник по математическому анализу. Теорема о пределе произведения. Там же. Теорема о пределе суммы. Там же. Теорема о пределе частного. Тоже там же.