Предел последовательности

[bayah]

Найти предел $x_n=\sin\big(\pi\sqrt{4n^2+n}\big)$ при $n \to \infty $.

Получается, если рассмотреть такой синус, $\sin\big(\pi\sqrt{4n^2}\big)$, то предел будет стремиться к $0$, т.к. получается $\sin\big( 2 \pi n}\big)$.

Теперь если рассмотреть аргумент $\sin\big(\pi\sqrt{4n^2+n}\big)$, то понятно, что из-за слагаемого $n$ будет получаться смещение и кажется, что ни к какому значению это выражение стремиться не должно? Но ответ вроде бы есть. В чем я ошибаюсь?
Что-то никаких идей как его искать...
Есть подсказки?)

[12d3]

Вычтите из аргумента синуса $2\pi n$ и посмотрите, к чему такая разность стремится.

[wrest]

12d3 в сообщении #1162484 писал(а):

понятно, что из-за слагаемого $n$ будет получаться смещение и кажется, что ни к какому значению это выражение стремиться не должно?

Калькулятор в смартфоне выдает такие значения корня для некоторых $n$:

$n=1000000, \sqrt{4n^2+n}=2 000 000,249999984375$
$n=1000001, \sqrt{4n^2+n}=2 000 002,249999984375$
$n=1000002, \sqrt{4n^2+n}=2 000 004,249999984375$
$n=1000100, \sqrt{4n^2+n}=2 000 200,2499999843766$

[bayah]

12d3 в сообщении #1162484 писал(а):

Вычтите из аргумента синуса $2\pi n$ и посмотрите, к чему такая разность стремится.

Нуу...в этом случае ничего не поменяется в значении предела, это же период синуса просто.
?

А если так?
$x_n=\sin\big(\pi\sqrt{4n^2+n}\big) = \sin\big(\pi\sqrt{4n^2(1+\dfrac{n}{4n^2})}\big) = \sin\big(\pi2n\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}\big)$.
$\dfrac{1}{4n} \to 0$ при $n \to \infty$
Следовательно, $\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}} \to 1$
В итоге $\sin\big(\pi2n\big) \to 0$.

Но $0$ не верный ответ)

[12d3]

bayah в сообщении #1162563 писал(а):

Нуу...в этом случае ничего не поменяется в значении предела, это же период синуса просто.

Именно. Я все-таки рекомендую вам внимательнее прочитать, что же я вам посоветовал сделать. Задача-минимум: найти $\lim\limits_{n\to \infty}\left(\pi \sqrt{4n^2+n} - 2\pi n\right)$
UPD. Поправил формулу.

[bayah]

12d3 в сообщении #1162564 писал(а):

Задача-минимум: найти $\lim\limits_{n\to \infty}\left(2\pi \sqrt{4n^2+n} - 2\pi n\right)$

Ну тут предел $\infty$ же.

[Shadow]

Еще раз

$\lim\limits_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2+n}-2n)$

[ewert]

bayah в сообщении #1162591 писал(а):

Ну тут предел $\infty$ же.

Нет, не бесконечности, а разности двух бесконечностей. Которую следует раскрывать. И вас 100% учили, как следует это делать -- уж применительно к подобным случаям 100%.

[Lia]

ewert в сообщении #1162686 писал(а):

Нет, не бесконечности,

Ну, по правде говоря, там опечатка, с которой - действительно бесконечности. Решать надо предел от Shadow.

[ewert]

А, понял проблему:

bayah в сообщении #1162591 писал(а):

12d3 в сообщении #1162564 писал(а):

Задача-минимум: найти $\lim\limits_{n\to \infty}\left(2\pi \sqrt{4n^2+n} - 2\pi n\right)$

Тут некоторый систематический обмен очипятками.

[Nemiroff]

12d3 в сообщении #1162484 писал(а):

Вычтите из аргумента синуса $2\pi n$ и посмотрите, к чему такая разность стремится.

Это пока лучший совет. Изменю так: вычтите, а затем преобразуйте выражение под синусом так, чтоб было хорошо.

[bayah]

ewert в сообщении #1162686 писал(а):

И вас 100% учили, как следует это делать -- уж применительно к подобным случаям 100%.

Кстати нет, вроде бы...
Было про запрещенные операции. И $0 \cdot \infty$ одна из них.

А что не так в моем решении, в котором я получаю решение $0$, там же не возникает такой запрещенной операции?

[Brukvalub]

bayah в сообщении #1162985 писал(а):

А что не так в моем решении, в котором я получаю решение $0$, там же не возникает такой запрещенной операции?

На $0$, как известно, делить нельзя. Так что неверно в моем вычислении: $5\cdot 6=32$, ведь на $0$ я не делил!

[Dmitriy40]

(Упс, ошибся)

bayah в сообщении #1162985 писал(а):

А что не так в моем решении, в котором я получаю решение $0$, там же не возникает такой запрещенной операции?

Именно что возникает: $\pi2n\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}}, n\to\infty, \sqrt{1+...}\to0$. Upd. Не к нулю конечно, ошибся.

И скажу Вам по секрету, раз уж Вы ни посчитать сами не можете на калькуляторе ни посмотреть на сообщение wrest выше к чему стремится предел, что он таки стремится к вполне конечному числу и оно не $0$. И самый простой способ это понять -

Nemiroff в сообщении #1162908 писал(а):

12d3 в сообщении #1162484 писал(а):

Вычтите из аргумента синуса $2\pi n$ и посмотрите, к чему такая разность стремится.

Это пока лучший совет. Изменю так: вычтите, а затем преобразуйте выражение под синусом так, чтоб было хорошо.

[Otta]

bayah в сообщении #1162985 писал(а):

А что не так в моем решении, в котором я получаю решение $0$, там же не возникает такой запрещенной операции?

Щас спою.
$\lim_{n\to\infty}\bigl(n\bigl(1+\dfrac 1n\bigr)-n\bigr)=\lim_{n\to\infty} (n-n)=0$, так как $\bigl (1+\dfrac 1n\bigr)$ стремится к единице. Верно? Нет? Почему?