Функции Эйри

[Singular]

При анализе результатов, содержащих функции Эйри, столкнулся с таким выражением

$$ \lim\limits_{x\rightarrow+0}\left[\operatorname{Ai}\left(-\left(\frac{y^2}{x^2}+x\right)\right) \operatorname{Bi}'\left(-\frac{y^2}{x^2}\right)-\operatorname{Ai}'\left(-\frac{y^2}{x^2}\right) \operatorname{Bi}\left(-\left(\frac{y^2}{x^2}+x\right)\right)\right]. $$

Первое, что сразу же напрашивается, можно пренебречь слагаемым $x$ в сумме $\left(\frac{y^2}{x^2}+x\right)$ и, тем самым, получим вронскиан, равный $W=\left\{\operatorname{Ai}\left(-\frac{y^2}{x^2}\right),\operatorname{Bi}\left(-\frac{y^2}{x^2}\right)\right\}=\frac{1}{\pi}$, но, анализируя построенные графики, результат должен быть иным

$$ \lim\limits_{x\rightarrow+0}\left[\operatorname{Ai}\left(-\left(\frac{y^2}{x^2}+x\right)\right) \operatorname{Bi}'\left(-\frac{y^2}{x^2}\right)-\operatorname{Ai}'\left(-\frac{y^2}{x^2}\right) \operatorname{Bi}\left(-\left(\frac{y^2}{x^2}+x\right)\right)\right]=\frac{1}{\pi}\cos{y}, $$

что хотелось бы подтвердить теоретически.

Пробовал использовать теорему сложения, представив функции Эйри через функцию Бесселя порядка $1/3$, но ничего вразумительного не получил, только больше запутался. Подскажите, пожалуйста, "свежие" идеи - с какого бока подойти?

[svv]

Singular в сообщении #1162498 писал(а):

Первое, что сразу же напрашивается, можно пренебречь слагаемым $x$ в сумме $\left(\frac{y^2}{x^2}+x\right)$

Хочу рассказать, почему так делать нельзя. Аргумент функций Эйри буду обозначать $z$ (вещественное число), чтобы не путать с Вашим $x$.

При $z\to-\infty$ для $\operatorname{Ai}(z), \operatorname{Bi}(z)$ справедливы асимптотические формулы:
$\operatorname{Ai}(z) \sim \dfrac{\sin(\frac 2 3|z|^{3/2}+\frac 1 4\pi)}{\sqrt\pi\,|z|^{1/4}}\quad\quad\operatorname{Bi}(z) \sim \dfrac{\cos(\frac 2 3|z|^{3/2}+\frac 1 4\pi)}{\sqrt\pi\,|z|^{1/4}}$
При больших отрицательных $z$ обе функции совершают колебания с медленно растущей (в сторону отрицательной бесконечности) частотой и медленно убывающей амплитудой. Введём понятие фазы
$\varphi=\frac 2 3|z|^{3/2}$
— это аргумент синуса и косинуса (без константы $\frac 1 4\pi$).

В Вашем выражении функции Эйри берутся от двух аргументов: $z_1=-\frac{y^2}{x^2}$ и $z_2=-\frac{y^2}{x^2}-x$. Им соответствуют фазы
$\varphi_1=\frac 2 3|z_1|^{3/2}=\frac 2 3 \frac{y^3}{x^3}$
$\varphi_2=\frac 2 3|z_2|^{3/2}=\frac 2 3 \frac{y^3}{x^3}(1+\frac{x^3}{y^2})^{\frac 3 2}$
Выясним, как ведёт себя разность этих фаз при $x\to 0$ и фиксированном $y$. Заранее сказать трудно, потому что здесь противоборствуют два фактора: рост $\frac{y^2}{x^2}$ увеличивает разность фаз, а убывание слагаемого $x$ — уменьшает. Вычисление показывает, что разность фаз стремится к константе $y$. Значит, если при некотором достаточно малом $x$ функции $\operatorname{Ai}(z),\operatorname{Bi}(z)$ совершают десять колебаний между $z_1(x)=-\frac{y^2}{x^2}$ и $z_2(x)=-\frac{y^2}{x^2}-x$, то и при любом как угодно малом $x$ они будут делать между $z_1(x)$ и $z_2(x)$ те же десять колебаний, и пренебрегать слагаемым $x$ нельзя.

[mihiv]

Разложим функции $Ai, Bi$ в ряд Тэйлора в точке $z=-\dfrac {y^2}{x^2}: Ai(z-x)=Ai(z)-xAi'(z)+\dfrac {x^2}{2!}Ai''(z)-\cdots $. Производные второго порядка и выше выражаем с помощью уравнения для функций Эйри. Так что, например, $Ai''(z)=zAi(z), Ai'''(z)=Ai(z)+zAi'(z)$ и т.д.(аналогично для $Bi$). Вронскиан всюду, где он появляется, заменяем на $\frac 1{\pi }$ и затем переходим к пределу $x\to 0$. При учете слагаемых разложения до $x^4$ получается: $\lim \limits _{x\to 0}=\frac 1{\pi }(1-\dfrac {y^2}{2!}+\dfrac {y^4}{4!}+\cdots ),$ поэтому похоже, что $\cos y$ здесь действительно есть.

[Singular]

svv, mihiv искренне благодарен за ценные мысли - спасибо!