Уравнение эллипса в декартовых и полярных координатах

[matemat]

Я что-то плохо понимаю, что мы делаем? Зачем мы навешиваем какие-то магические выражения?
Если этого не делать у меня получается: $x^2+y^2-(ex-p)^2=2p^2$

[svv]

Когда мы получили уравнение $(1-e^2)x^2+2ep\cdot x+y^2=p^2$, мне надо было сказать: это эллипс. Дальше сами приведите это уравнение к каноническому виду и посмотрите, какие получатся полуоси и как они связаны с $p$ и $e$. Для приведения нужен лишь сдвиг по $x$.

-- Вт окт 25, 2016 01:26:41 --

matemat в сообщении #1162825 писал(а):

Если этого не делать у меня получается: $x^2+y^2-(ex-p)^2=2p^2$

Так «проще», но не достигается цель: получаются два слагаемых, квадратичных относительно $x$.

[matemat]

svv, большое спасибо за помощь! Буду думать ... Но выглядит как шаманство

[svv]

Тогда, скорее всего, Вы не знаете или забыли, что такое выделение полного квадрата. Нам надо добиться, чтобы $x$ входило в уравнение в виде $(\lambda x+\mu)^2$ (если непонятно, зачем, тогда совсем плохи дела ).
Если у Вас есть выражение $\lambda^2 x^2+2\lambda x\cdot \mu+\mu^2$, Вы сразу скажете, что это и есть $(\lambda x+\mu)^2$.
Если в уравнении есть только $\lambda^2 x^2+2\lambda x\cdot \mu$, то можно прибавить и вычесть $\mu^2$, и этот случай свeдётся к предыдущему.
Если в уравнении $\lambda^2 x^2+2\nu x$, надо записать это как $\lambda^2 x^2+2\lambda x\cdot \frac {\nu}{\lambda}$, и тем самым этот случай сводится к предыдущему (где $\mu=\frac {\nu}{\lambda}$).

[matemat]

svv в сообщении #1162830 писал(а):

Тогда, скорее всего, Вы не знаете или забыли, что такое выделение полного квадрата. Нам надо добиться, чтобы $x$ входило в уравнение в виде $(\lambda x+\mu)^2$ (если непонятно, зачем, тогда совсем плохи дела ).
Если у Вас есть выражение $\lambda^2 x^2+2\lambda x\cdot \mu+\mu^2$, Вы сразу скажете, что это и есть $(\lambda x+\mu)^2$.
Если в уравнении есть только $\lambda^2 x^2+2\lambda x\cdot \mu$, то можно прибавить и вычесть $\mu^2$, и этот случай свeдётся к предыдущему.
Если в уравнении $\lambda^2 x^2+2\nu x$, надо записать это как $\lambda^2 x^2+2\lambda x\cdot \frac {\nu}{\lambda}$, и тем самым этот случай сводится к предыдущему (где $\mu=\frac {\nu}{\lambda}$).

Это я знаю, не забыл

[svv]

Так вот, у нас роль $\lambda$ играет $\sqrt{1-e^2}$, а роль $\mu$ играет $\frac{ep}{\sqrt{1-e^2}}$, вот и вся магия.

-- Вт окт 25, 2016 02:05:44 --

Можно временно использовать обозначения $\lambda=\sqrt{1-e^2}, \mu=\frac{ep}{\sqrt{1-e^2}}$ для упрощения вида формул.
Заметим, что $\lambda\mu=ep$. Тогда уравнение $(1-e^2)x^2+2ep\cdot x+y^2=p^2$ запишется как
$(\lambda x)^2+2\lambda\mu x+y^2=p^2$
Выделяем полный квадрат:
$(\lambda x+\mu)^2+y^2=p^2+\mu^2$

[matemat]

получается такой вид:
$\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2(1-e^2)}{p^2}+\frac{2xe}{p}+e^2=1$

[svv]

Гм... Я всё время пытаюсь впихнуть Вас в некую определённую дверь, а Вы всё время норовите выскользнуть. Слагаемого с $x$ в первой степени не должно быть. В общем, эта форма — шаг назад по сравнению с
$(\lambda x+\mu)^2+y^2=p^2+\mu^2$
Если Вы понимаете, как это получено, следующий шаг — вынести $\lambda$ за скобку (отчего оно возведётся в квадрат), подставить вместо $\lambda$ и $\mu$ то, что ими обозначено, упростить правую часть и потом только, наконец, разделить на неё обе части.

[matemat]

да это я понимаю, но как избавиться, как говорите от этого X в первой степени, он все время упорно присутствует

[svv]

Достаточно привести уравнение к виду
$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$
Это эллипс с полуосями $a, b$ и центром в точке $(x_0, y_0)$. И мы почти привели к такому виду. Осталось сделать те действия, что я сказал.
$(\lambda x+\mu)^2+y^2=p^2+\mu^2$
$\lambda^2(x+\frac{\mu}{\lambda})^2+y^2=p^2+\mu^2$
$(1-e^2)(x+\frac{ep}{1-e^2})^2+y^2=p^2+\frac{e^2p^2}{1-e^2}$
...

[Pphantom]

matemat в сообщении #1162911 писал(а):

да это я понимаю, но как избавиться, как говорите от этого X в первой степени, он все время упорно присутствует

matemat в сообщении #1162834 писал(а):

$\frac{x^2}{p^2}+\frac{2xe}{p}+e^2$

Посмотрите на эти три слагаемых. Вы не видите, что это полный квадрат?

[matemat]

вижу и пишу. Извините но не очень удобно записывать выражения со с март фона. позже напишу что вышло

[matemat]

$\frac{(x+ep)^2}{p^2}+\frac{y^2(1-e^2)}{p^2}=1$
прокомментируйте, пожалуйста

[svv]

Нет, неправильно. И это тоже.

[matemat]

svv в сообщении #1162921 писал(а):

Достаточно привести уравнение к виду
$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$
Это эллипс с полуосями $a, b$ и центром в точке $(x_0, y_0)$. И мы почти привели к такому виду. Осталось сделать те действия, что я сказал.
$(\lambda x+\mu)^2+y^2=p^2+\mu^2$
$\lambda^2(x+\frac{\mu}{\lambda})^2+y^2=p^2+\mu^2$
$(1-e^2)(x+\frac{ep}{1-e^2})^2+y^2=p^2+\frac{e^2p^2}{1-e^2}$
...

продолжая эту идею именно так получается:
$(1-e^2)(x+\frac{ep}{1-e^2})^2+y^2=\frac{p^2(1-e^2)+e^2p^2}{1-e^2}$
$(1-e^2)(x+\frac{ep}{1-e^2})^2+y^2=\frac{p^2}{1-e^2}$
поделив на правую часть:
$\frac{(1-e^2)^2(x+\frac{ep}{1-e^2})^2}{p^2}+\frac{y^2(1-e^2)}{p^2}=1$