Уравнение эллипса в декартовых и полярных координатах

[matemat]

В задаче нужно доказать, что соотношение $r=p/(1+e\cdot \cos \varphi )$ является уравнением эллипса, где $p$ - фокальный параметр, $e$ - эксцентриситет. Понятно, что здесь нужно перейти к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$.
Я не могу вспомнить ход преобразований, чтобы получить координаты $x,y$ и параметры $a,b$. Что-то подзабыл, напомните, пожалуйста!
Может быть начать следует с банального: $p=r\cdot \sin \varphi $ ...

[Brukvalub]

matemat в сообщении #1162762 писал(а):

Я не могу вспомнить ход преобразований, чтобы получить координаты $x,y$ и параметры $a,b$. Что-то подзабыл, напомните, пожалуйста!

И гугл не помогает? Просто беда!

[Pphantom]

Ну, наверное, начать надо с выяснения, как фокальный параметр $p$ связан с другими параметрами эллипса, а также с воспоминания о том, что полюс для уравнения в полярных координатах находится в фокусе эллипса, а начало координат для канонического уравнения - в центре эллипса.

[svv]

Пожалуйста, запишите формулы перехода от полярных координат к декартовым, а если хотите получить результат быстро — то и формулы обратного перехода.

[matemat]

svv в сообщении #1162774 писал(а):

Пожалуйста, запишите формулы перехода от полярных координат к декартовым, а если хотите получить результат быстро — то и формулы обратного перехода.

$x=r\cdot \cos \varphi - e$
$y=r\cdot \sin \varphi$
$r^2=x^2+y^2$
Хочу быстро и подскажите как?

[Pphantom]

matemat в сообщении #1162783 писал(а):

$x=r\cdot \cos \varphi - e$

Линейный эксцентриситет и просто эксцентриситет, обозначаемый обычно $e$ - это разные вещи.

[svv]

Просто $x=r\cos\varphi$. Формулы перехода — общие и не зависят от того, рассматривается ли эллипс или неведомая загогулина, у которой от природы нет никаких экстри... эксенци... Вы меня поняли.

Итак. $r=\frac p{1+e\cos \varphi}$
$r(1+e\cos\varphi)=p$
Раскройте скобки.

[matemat]

svv в сообщении #1162788 писал(а):

Просто $x=r\cos\varphi$. Формулы перехода — общие и не зависят от того, рассматривается ли эллипс или неведомая загогулина, у которой от природы нет никаких экстри... эксенци...

Почему, если мы фокус смещаем от начала координат на величину $e$, например влево, то нельзя так?

[svv]

Бывает два рода преобразований координат. В применении к нашей задаче они звучат так:
1) Оставляя кривую той же самой, перейти к другой системе координат. Каждая точка кривой остается на месте.
2) Оставляя систему координат той же самой, как-либо преобразовать кривую (сдвиг, поворот, да хоть выворачивание наизнанку). Каждая точка кривой заменяется новой точкой другой кривой.

Первое иногда называется пассивное преобразование координат, второе — активное.

Сейчас предлагается лишь 1): перейти от полярных координат к декартовым по стандартным формулам перехода, поскольку пока неочевидно, как именно нужно менять (хотя бы просто сдвигать) саму кривую. Во всяком случае, мне неочевидно.

[matemat]

svv в сообщении #1162788 писал(а):

Раскройте скобки.

$r+ex=p$, а как избавиться от $e$, возводить в квадрат? как-то муторно получается ...

[svv]

Отлично. От $e$ не нужно сейчас избавляться: оно несёт информацию о форме эллипса (ведь эллипсы разные бывают — и очень вытянутые, и почти окружности).

Перенесите $ex$ в правую часть. Возведите в квадрат.

[matemat]

получилось что-то такое:
$y^2=x^2(e^2-1)-2xep+p^2$
пока что трудно узнать каноническое представление эллипса ...

[svv]

Да. Лучше так:
$(1-e^2)x^2+2ep\cdot x+y^2=p^2$
Это уже уравнение эллипса в декартовых координатах. Разделите на $p^2$. Посмотрите на два первых слагаемых и выделите полный квадрат.

[matemat]

почему то я думал получить такое: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$.
не совсем похоже, вроде бы эллипс, но какой то другой ... левая часть пугает

[svv]

Осталось чуть-чуть. Добавьте к обеим частям $(\frac {ep}{\sqrt{1-e^2}})^2=\frac {e^2p^2}{1-e^2}$
В левой части получите из слагаемых, кроме $y^2$, полный квадрат.

-- Вт окт 25, 2016 01:10:07 --

$$x^2(1-e^2)+2epx+(\frac {ep}{\sqrt{1-e^2}})^2=\left(x\sqrt{1-e^2} \right)^2+2\cdot x\sqrt{1-e^2}\cdot \frac{ep}{\sqrt{1-e^2}}+\left(\frac{ep}{\sqrt{1-e^2}}\right)^2=...$$