Дискриминант кубического уравнения через коэффициенты

[Asvald]

Уравнение $x^3+px^2+qx+r=0$ имеет корни \alpha, \beta, \gamma. Выразите $(\alpha-\beta)^2(\alpha-\gamma)^2(\beta-\gamma)^2$ через p, q и r.

Зная о том, что по теореме Виета
$\alpha+\beta+\gamma=-p$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=q$
$\alpha\beta\gamma=-r$

Начал я с того что в лоб раскрыл произведение квадратов разности корней, но получилось громоздкое выражение, из которого довольно трудно получить группировкой коэффициенты. Должно быть какое то более элегантное решение, возможно определить сначала степени при p,q,r в результирующем выражении, а потом посчитать коэффициенты, но пока не могу придумать как это сделать.

[provincialka]

Можно, например, записать, что $(\alpha-\beta)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=(-p-\gamma)^2-4\alpha\beta$ и т.д. Наверное, это приведет к ответу... рано или поздно..

[Евгений Машеров]

Ну, во-первых, в квадрат можно возводить в самом конце. А сперва подобрать выражение для $(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)$

-- 22 окт 2016, 18:23 --

А, во-вторых, расписывая произведение, заметить, что у нас все слагаемые по три сомножителя (возможно, равные), а выражения для p - только первая, для q - вторая степень, только r прямо подходит. То есть может возвести p в куб, и ещё умножить p на q. И из полученного набора как-то скомпоновать...

[пианист]

Самый скучный вариант :)
Поочередно делить на модули Коши (два раза).
Зато результат с гарантией.

(Оффтоп)

Неужели квадрат определителя Вандермонда через элементарные где-нибудь, в какой-нибудь книжке не расписан?

[DeBill]

Asvald
Или: дискриминант равен результанту многочлена и его производной.
Итого: считаем производную, приравниваем ее (и сам многочлен) нулю, исключаем $x$ - готово!

[Asvald]

Вообще-то, это задача номер 306 из замечательной книги "Алгебра" Гельфанда и Шеня, расчитаная на школьников в том числе. Поэтому модули Коши или производные может и помогут решить задачу, но это будет совсем не то решение, которые подразумевали авторы, размещая там эту задачу, и я хочу найти именно его.
Нашел обсуждение этой задачи. В целом осталась проблема подбора подходящих уравнений.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- оформите ссылку, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[adfg]

Asvald,
Если решать элементарными средствами, то это можно делать так. Как уже было замечено, выражение возводить в квадрат не нужно, достаточно перемножить попарные разности корней. Тогда получается разность двух сумм, по 3 слагаемых в каждой. Как известно, чтобы сосчитать квадрат разности двух чисел, достаточно знать их сумму и произведение. Сумма шести слагаемых через уравнения Виета выписывается элементарно. С произведением немного сложнее, но и тут можно заметить что если его несколько раз поделить/умножить на третье уравнение Виета, вычисление сведется к нахождению суммы кубов корней уравнения, а также суммы обратных кубов. И та и другая сумма вычисляются через уравнения Виета не сложно, так что в конце концов сосчитается и само произведение, что позволит в итоге получить окончательный ответ. Способ сто процентов рабочий, час времени потратил лично, с ответом из википедии сошлось, так что если времени не жалко - можете пробовать

[пианист]

Евгений Машеров в сообщении #1161968 писал(а):

в квадрат можно возводить в самом конце

adfg в сообщении #1162113 писал(а):

выражение возводить в квадрат не нужно

Кстати, не обратил внимание.
Можно в этом месте поподробнее?
То, что в квадрате, не является симметричным относительно перестановок $\alpha,\beta,\gamma$, соответственно, через $p, q, r$ не выражается.

[adfg]

пианист,
Раскрывая скобки, мы получим следующее выражение для квадрата:
$(\alpha-\beta)^2(\alpha-\gamma)^2(\beta-\gamma)^2=[(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha)-(\beta^2\alpha+\gamma^2\beta+\alpha^2\gamma)]^2$

Далее используем простую формулу $(A-B)^2=(A+B)^2-4AB$

В данном контексте $A+B$ и $AB$ будут симметричными относительно любых перестановок корней, и самый простой способ убедиться в этом - написать для них явные выражения воспользовавшись соотношениями Виета. Для суммы $A+B$ ответ можно увидеть почти сразу, просто глядя на формулы Виета, можете потренировать зоркость глаз. Для произведения $AB$, как уже писал, придется немного повозиться, оно в итоге выразится через сумму кубов корней уравнения и сумму обратных кубов, которые к слову также являются симметрическими и явно выписываются по формулам Виета, после чего останется только собрать все воедино и сосчитать окончательный ответ