Деление произвольно заданного угла на 3 равные части.

[evgen.]

Деление произвольно заданного угла на 3 равные части.
( Трисекция угла )
Е. И. Терёшкин.
Россия. г. Пенза

Чертим две пары пересекающихся прямых, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были острыми (чертеж 1) и тупыми (чертеж 2) .
В местах пересечения ставим точки O.


чертёж 1. Верхний и нижний вертикальные углы острые

чертёж 2. Верхний и нижний вертикальные углы тупые

Проводим общие биссектрисы обоих вертикальных острых углов (рисунок 1) и обоих вертикальных тупых углов (рисунок 2). Из точек $ O $ любыми радиусами описываем окружности. В местах пересечения сторон нижнего острого угла (рисунок 1) и тупого угла(рисунок 2) с дугами окружностей ставим точки $ M $ и $ N $. Далее из точек $ N $ параллельно биссектрисам проводим линии вверх до пересечения с продолжениями линий $ MO $ и дугами окружностей и ставим точки $ K $. На прямых $ NK $ вправо строим равносторонний треугольник $ KDN $. Соединяем точки $ O $ и $ D $. Проводим биссектрисы углов $ KDO $ до пересечения с прямыми $ OK $ и ставим точки $ L $. Из точек $ L $ радиусами $ ML $ проводим окружности. В местах пересечения окружностей радиуса $ ML $ с биссектрисами острых и тупых углов ставим точки $ B $ и $ S $. Из точек $ B $ параллельно $ KM $ проводим прямые до пересечения с продолжениями прямых $ NO $ и ставим точки $ A $ . Из точек $ B $ параллельно $ AO $ проводим прямые до пересечения с продолжениями прямых $ MK $ и ставим точки $ C $. $ \angle ABC=\angle AOC $ - это и есть углы, которые мы будем делить на три равные части. Проведем прямые $ MB $. Из точек $ M $ и $ B $ проведем диаметры и поставим точки $ Q $ и $ P $ и соединим их. Так как треугольник $ BLM $ равнобедренный, то $ \angle LBM=\angle LMB $. Также $ \angle ABM=\angle LMB $ -внутренние накрестлежащие при параллельных прямых $ AB $ и $ MQ $ и секущей $ MB $. Четырехугольники $ OABC $-ромбы, так как треугольник $ OAB $ равен треугольнику $ BCO $, так же эти треугольники равнобедренные. Из точек $ L $ проведем радиусы параллельно $ OA $ поставим точки $ H $. $ \angle HLQ =\angle ABC=\angle AOC $. $ \angle BLQ=\angle MLP $ - вертикальные. Хорды $ MB $ и $ PQ $ параллельны, так как они стягивают равные дуги. Из точки $ M $ до пересечения с большой окружностью проведем биссектрису угла $ BMQ $. В месте пересечения поставим точку $ R $. Угол $ BLQ $-центральный,угол $ BMQ $-вписанный, следовательно биссектриса $ MR $ делит дугу $ BQ $ пополам.

Проведем общую биссектрису вертикальных углов $ BLQ $ и $ MLP $. Она будет начинаться в точке $ R $, а заканчиваться предположительно в точке $ S $. $ SR $ параллельна $ MB $ и параллельна $ PQ $, так как $ SR $ делит пополам дуги $ BQ $ и $ MP $. $ \angle BLR=\angle MLS $, так как хорда $ MB $ параллельна диаметру $ SR $ и дуга $ BR $ равна дуге $ MS $. Рассмотрим треугольники $ MRL $ и $ SBL $. В этих треугольниках $ ML=SL=LR=LB $ – радиусы одной окружности, $ \angle BLR + \angle HLP + \angle MLH = \angle HLB + \angle MLH + \angle MLS $ , из доказанного известно, что $ \angle BLR = \angle MLS $. Следовательно треугольник $ MRL $ равен треугольнику $ SBL $. Если мы повернем треугольник $ MRL $ в точке $ L $ против часовой стрелки на $ \angle BLR $ , то $ LR $ совпадет с $ LB $, $ MR $ совпадет с $ SB $, а $ ML $ повернется на величину $ \angle MLS $ , который в свою очередь равен $ \angle BLR $ и прямая $ ML $ станет прямой $ SL $.Значит биссектриса вертикальных углов $ BLQ $ и $ MLP $ точно проходит через точку $ S $.

$ \angle MBS = \angle BMR $- равные вписанные углы при равных центральных углах $ BLR $ и $ MLS $. Из доказанного ранее известно, что $ \angle BML = \angle MBL $.Так как $ \angle BMR $ - половина $ \angle BML $ , то $ \angle MBS $ будет половиной $ \angle MBL $ ,а $ BS $ – биссектриса $ \angle MBL $ . Из этого следует, что $ \angle MBO = \angle OBL $ . Но хорда BS является биссектрисой не только $ \angle MBL $ , но и $ \angle ABC $ , значит $ \angle ABM = \angle LBC $. Из доказанного ранее известно, что $ \angle ABM =\angle MBL $ , следовательно $ \angle ABM = \angle MBL = \angle LBC $.

Теперь из точки $ O $ проведем прямую параллельную $ LB $ до пересечения с прямой $ MB $ и поставим точку $ E $, затем из точки $ O $ проведем прямую параллельную $ MB $ до пересечения с прямой $ LB $ и поставим точку $ F $. $ \angle AOE = \angle EOF = \angle FOC $.

Наши углы $ ABC $ и $ AOC $ разделены на три равные части.

А на практике для деления $ \angle AOC $ на три равные части достаточно найти точку $ B $, построить треугольник $ MBL $ и провести прямые $ OE $ и $ OF $.

[Brukvalub]

Ищите АшиПку, поскольку еще в 19 веке (Ванцелем в 1837 г.) доказано, что невозможно провести трисекцию угла классическими инструментами

[grizzly]

evgen. в сообщении #1161242 писал(а):

Если мы повернем треугольник $ MRL $ в точке $ L $ против часовой стрелки на $ \angle BLR $ , то $ LR $ совпадет с $ LB $, $ MR $ совпадет с $ SB $, а $ ML $ повернется на величину $ \angle MLS $ , который в свою очередь равен $ \angle BLR $ и прямая $ ML $ станет прямой $ SL $.Значит биссектриса вертикальных углов $ BLQ $ и $ MLP $ точно проходит через точку $ S $.

Все эти рассуждения с поворотом и наложением треугольников остаются так же верны в случае, когда точки $S,L,R$ не лежат на одной прямой (лень прикладывать рисунок, уверен, что Вы сами поймёте). Исправьте это место, если сможете.

Как бы там ни было, ошибку нужно искать. Если будете обновлять доказательство, заметьте, пожалуйста, пораньше, что $MBQP$ -- прямоугольник. Это укоротит часть выкладок.

[arseniiv]

В отличие от предложений насчёт БТФ, здесь вполне рабоч метод «проверь себя сам»: изучить в должной степени любую программу для интерактивных геометрических построений (типа GeoGebra или KSEG), построить там предлагаемое и покрутить исходный угол, смотря на значение результирующего (в GeoGebra можно сразу вывести рядом с чертежом отношение этих углов, чтобы вообще ничего не надо было делать в уме).

-- Чт окт 20, 2016 21:35:22 --

Хотя если нет доверия к историческому доказательству невозможности такого построения, может оказаться недостаточно доверия и к программе… но тогда форум ничего не добавит.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1161438 писал(а):

но тогда форум ничего не добавит.

С другой стороны, это "решение" украсило бы любую занимательную книгу с софизмами. Его можно чуть сократить и приукрасить, а указанный мной пробел вообще не упоминать, рассчитывая на наглядную очевидность совпадения точек (других проколов там нет, разве что опечатки).

Если человек заинтересован, он может провести ещё небольшую исследовательскую работу. Например, с целью понять, насколько хорошо такой алгоритм приближает трисекцию, от каких параметров и как зависит качество приближения, нет ли каких-то более глубоких оснований у такого неплохого приближения и т.п.

В общем, у меня презумпция чуть помягче (особенно если я вижу понятное и последовательное изложение, в котором приятно искать пробелы :) -- может оттого, что я и сам способен делать глупейшие ошибки даже в тех вопросах, которые достаточно уверенно понимаю.

[Panfilov]

Brukvalub в сообщении #1161258 писал(а):

Ищите АшиПку, поскольку еще в 19 веке (Ванцелем в 1837 г.) доказано, что невозможно провести трисекцию угла классическими инструментами

Так Вы полагаете, что и "вечный двигатель" не возможен?

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1161477 писал(а):

С другой стороны, это "решение" украсило бы любую занимательную книгу с софизмами. Его можно чуть сократить и приукрасить, а указанный мной пробел вообще не упоминать, рассчитывая на наглядную очевидность совпадения точек (других проколов там нет, разве что опечатки).

Не сказал бы, что нужную степень изменений уместно назвать словом чуть.

grizzly в сообщении #1161477 писал(а):

В общем, у меня презумпция чуть помягче (особенно если я вижу понятное и последовательное изложение, в котором приятно искать пробелы :)

Рад, если оно понятное. А то я один раз глянул (и на чертежи) и понял, что засну на половине, и не стал начинать.

Panfilov в сообщении #1161491 писал(а):

Так Вы полагаете, что и "вечный двигатель" не возможен?

Разумеется, невозможен, но это никак не связано с трисекцией.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Panfilov в сообщении #1161491 писал(а):

Так Вы полагаете, что и "вечный двигатель" не возможен?

Вот как раз вечный двигатель у меня давно есть, и он изрядно уменьшает мои коммунальные платежи и расходы на бензин!

[hurtsy]

Вопросы к ТС

evgen. в сообщении #1161242 писал(а):

$ \angle BLR + \angle HLP + \angle MLH = \angle HLB + \angle MLH + \angle MLS $

$\angle MLH$ входит в $\angle HLP $ ?
Для чего строить равносторонний треугольник $NDE$, в доказательствах он не участвует? С уважением,

[grizzly]

Ещё свежо в оперативке -- помогу ТС :)

hurtsy в сообщении #1161617 писал(а):

$\angle MLH$ входит в $\angle HLP $ ?

Там опечатка. Вместо $P$ должно быть $B$.

hurtsy в сообщении #1161617 писал(а):

Для чего строить равносторонний треугольник $NDE$, в доказательствах он не участвует?

Только там треугольник $NDK$ (все мы делаем опечатки :) Чтобы получить т.$D$ -- она используется в дальнейших построениях.

[hurtsy]

grizzly в сообщении #1161619 писал(а):

Там опечатка. Вместо $P$ должно быть $B$.

Согласен!

grizzly в сообщении #1161619 писал(а):

Чтобы получить т.$D$ -- она используется в дальнейших построениях.

Насчет опечаток, я никогда не зарекался. А использование $D$ не вычитывал. Простой поиск символа $D$ показал, отсутствие пользы от помянутого символа, хотя он соединяется с центрами малой и великой окружностей. А длина стороны равностороннего треугольника и углы $15,30,60$ градусов никак не используются. И это верно, трисекция ведь произвольного угла. У ТС вообще много лишних(ненужных) в дальнейшем "телодвижений". Имхо, таков почерк всех пионерских работ . Вы не только помогли ТС но и мне. Спасибо. Я, было подумал, что дискуссия заглохла. С уважением,

[hurtsy]

hurtsy в сообщении #1161695 писал(а):

А использование $D$ не вычитывал.

И в этом я не прав. Точка $D$ используется для нахождения центра большого круга, т.е. расстояния $OL$. После этого $D$ уже не нужна, вплоть до завершения построения. С уважением,

[hurtsy]

grizzly в сообщении #1161477 писал(а):

С другой стороны, это "решение" украсило бы любую занимательную книгу с софизмами. Его можно чуть сократить и приукрасить, а указанный мной пробел вообще не упоминать, рассчитывая на наглядную очевидность совпадения точек (других проколов там нет, разве что опечатки).

Сократить можно не чуть, а в 2 раза. Тупой угол сводится к острому вычитанием 90 градусов, и последующим прибавлением 30 градусов. Можно обходиться без вращений. А вот стоит вопрос: можно ли снять кавычки с вашего язвительного "решение". Дело не в том, что опровергается классический результат, он сформулирован для общего случая и отсутствия дополнительной информации. Я имею ввиду классическую теорему Морля, доказанную лет через 60 после Ванцеля. Равность сторон треугольника и у Морля и у ТС связана со свойствами кубических уравнений. Всю эту "мудрость" я извлек из всем доступного Интернета.

grizzly в сообщении #1161477 писал(а):

Если человек заинтересован, он может провести ещё небольшую исследовательскую работу.

Я предлагаю ТС решать задачу трисекции по стандарту -

• Анализ
• Синтез

Анализ покажет, что равносторонний треугольник реальная составляющая задачи, а не "кролик из шляпы". И тогда при синтезе будут употребляться только линии и циркуль и никаких софизмов. С уважением

[grizzly]

hurtsy в сообщении #1162557 писал(а):

А вот стоит вопрос: можно ли снять кавычки с вашего язвительного "решение".

Зря Вы так, я не пытался язвить -- как раз наоборот (см. контекст моей фразы). Кавычки снять нельзя.

hurtsy в сообщении #1162557 писал(а):

и никаких софизмов

О чём Вы?! Я же указал конкретное место в рассуждении, где допущена ошибка. Эта ошибка не может быть исправлена.

(Оффтоп)

hurtsy
Просьба: не провоцируйте вынос этой темы в Пургаторий.
ТС видел мои сообщения и не реагирует с той поспешностью, с какой обычно это делают фрики -- пусть даже он, быть может, не отказался от своих планов. Да и вообще ТС не в первый раз пришёл на форум со своим решением (в прошлый раз меня здесь временно не было) и вёл себя вполне корректно. В таких случаях я всегда рад помочь.

[hurtsy]

grizzly в сообщении #1162560 писал(а):

Кавычки снять нельзя.

grizzly в сообщении #1162560 писал(а):

Я же указал конкретное место в рассуждении, где допущена ошибка. Эта ошибка не может быть исправлена.

Виноват, попытаюсь исправиться. Можно ли считать

grizzly в сообщении #1161261 писал(а):

когда точки $S,L,R$ не лежат на одной прямой (лень прикладывать рисунок, уверен, что Вы сами поймёте). Исправьте это место, если сможете.

Является ли возможность упомянутых точек не лежать на одной прямой этим конкретным местом, и оно не может быть исправленным? Так как ТС находится в "сложной работе", может вы дадите точную ссылку для меня не догоняющего и даже частично "находящегося в танке" . С уважением,