2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Противоречие между признаками вписанного четырехугольника
Сообщение19.10.2016, 19:40 


18/04/10
2
Есть следующая теорема:

(1) Bокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда когда сумма противолежащих углов равна 180.

К тому же, в разных случаях приводят еще одну теорему:

(2) Eсли угол между стороной и диагональю четырехугольника равен углу между противолежащей стороной и другой диагональю, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность

Например, эта теорема используется для доказательства существования прямой Симсона (см. теорему 1 лекции 6 из книги "Лекции по элементарной геометрии" Шарыгина, а также в Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Simson_line). Но можно легко построить четырехугольник который отвечает условиям теоремы (2) но вокруг которого невозможно описать окружность из за теоремы (1). Например:

В четырехугольнике ABCD проведем диагонали AC и BD, и допустим что

$
BAC = BDC = 90 \\
$

Тогда условия теоремы (2) выполняются, а значит что вокруг ABCD можно описать окружность. Но предположим что мера других углов ABCD такова:

$ \\
ABD = ACD = 30 \\
ACB = 40 \\
ADB = 50 \\
CAD = 10 \\
CBD = 20 \\
$

Тогда:

$ \\
ABC = ABD + CBD = 50 \\
ADC = ADB + BDC = 140 \\
BAD = BAC + CAD = 100 \\
BCD = ACB + ACD = 70 \\
$

$ \\
ABC + ADC + BAD + BCD = 360 \\
$
$BAD + BCD = 170 \Rightarrow $ сумма противолежащих углов не равна 180
$ABC + ADC = 190 \Rightarrow $ сумма противолежащих углов не равна 180

А значит что по теореме (1) вокруг ABCD невозможно описать окружность.

Где у меня ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречие между признаками вписанного четырехугольника
Сообщение19.10.2016, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
lixon в сообщении #1161175 писал(а):
Но предположим что мера других углов ABCD такова:…
А почему Вы решили, что такие значения для других углов возможны? Как раз таки предложенные значения невозможны (например, обязано выполняться равенство $\angle ACB=\angle ADB$, поскольку это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречие между признаками вписанного четырехугольника
Сообщение19.10.2016, 20:51 


18/04/10
2
Действительно, вы правы - хоть на чертеже от руки вроде все сходилось, но когда попробовал построить такую фигуру с помощью транспортира то не вышло. В действительности наверное что мне было нужно так это понять как доказать теорему (2) а не пытаться сначала найти контр-пример. Подумав немного я понял как она доказывается (практически очень похоже на одну из сторон теоремы (1)), сейчас все понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group