Есть следующая теорема:
(1) Bокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда когда сумма противолежащих углов равна 180.
К тому же, в разных случаях приводят еще одну теорему:
(2) Eсли угол между стороной и диагональю четырехугольника равен углу между противолежащей стороной и другой диагональю, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность
Например, эта теорема используется для доказательства существования прямой Симсона (см. теорему 1 лекции 6 из книги "Лекции по элементарной геометрии" Шарыгина, а также в Википедии:
https://en.wikipedia.org/wiki/Simson_line). Но можно легко построить четырехугольник который отвечает условиям теоремы (2) но вокруг которого невозможно описать окружность из за теоремы (1). Например:
В четырехугольнике ABCD проведем диагонали AC и BD, и допустим что
![$
BAC = BDC = 90 \\
$ $
BAC = BDC = 90 \\
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/e/42e3196588a595add1b6cf7ca008d96b82.png)
Тогда условия теоремы (2) выполняются, а значит что вокруг ABCD можно описать окружность. Но предположим что мера других углов ABCD такова:
![$ \\
ABD = ACD = 30 \\
ACB = 40 \\
ADB = 50 \\
CAD = 10 \\
CBD = 20 \\
$ $ \\
ABD = ACD = 30 \\
ACB = 40 \\
ADB = 50 \\
CAD = 10 \\
CBD = 20 \\
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/9/1f9bff5cea3c73e6981694445403f8a082.png)
Тогда:
![$ \\
ABC = ABD + CBD = 50 \\
ADC = ADB + BDC = 140 \\
BAD = BAC + CAD = 100 \\
BCD = ACB + ACD = 70 \\
$ $ \\
ABC = ABD + CBD = 50 \\
ADC = ADB + BDC = 140 \\
BAD = BAC + CAD = 100 \\
BCD = ACB + ACD = 70 \\
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e662dcf3deda5da5750cb58aa9aa512982.png)
![$ \\
ABC + ADC + BAD + BCD = 360 \\
$ $ \\
ABC + ADC + BAD + BCD = 360 \\
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/0/b80e47a44b8402f2a71dd199b558629b82.png)
![$BAD + BCD = 170 \Rightarrow $ $BAD + BCD = 170 \Rightarrow $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/2/7b2914a60028045a7efcf286931912a282.png)
сумма противолежащих углов не равна 180
![$ABC + ADC = 190 \Rightarrow $ $ABC + ADC = 190 \Rightarrow $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/d/44dd3bff5b06cab0b894840e934a92e782.png)
сумма противолежащих углов не равна 180
А значит что по теореме (1) вокруг ABCD невозможно описать окружность.
Где у меня ошибка?