Противоречие между признаками вписанного четырехугольника

[lixon]

Есть следующая теорема:

(1) Bокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда когда сумма противолежащих углов равна 180.

К тому же, в разных случаях приводят еще одну теорему:

(2) Eсли угол между стороной и диагональю четырехугольника равен углу между противолежащей стороной и другой диагональю, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность

Например, эта теорема используется для доказательства существования прямой Симсона (см. теорему 1 лекции 6 из книги "Лекции по элементарной геометрии" Шарыгина, а также в Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Simson_line). Но можно легко построить четырехугольник который отвечает условиям теоремы (2) но вокруг которого невозможно описать окружность из за теоремы (1). Например:

В четырехугольнике ABCD проведем диагонали AC и BD, и допустим что

$ BAC = BDC = 90 \\ $

Тогда условия теоремы (2) выполняются, а значит что вокруг ABCD можно описать окружность. Но предположим что мера других углов ABCD такова:

$ \\ ABD = ACD = 30 \\ ACB = 40 \\ ADB = 50 \\ CAD = 10 \\ CBD = 20 \\ $

Тогда:

$ \\ ABC = ABD + CBD = 50 \\ ADC = ADB + BDC = 140 \\ BAD = BAC + CAD = 100 \\ BCD = ACB + ACD = 70 \\ $

$ \\ ABC + ADC + BAD + BCD = 360 \\ $
$BAD + BCD = 170 \Rightarrow $ сумма противолежащих углов не равна 180
$ABC + ADC = 190 \Rightarrow $ сумма противолежащих углов не равна 180

А значит что по теореме (1) вокруг ABCD невозможно описать окружность.

Где у меня ошибка?

[RIP]

lixon в сообщении #1161175 писал(а):

Но предположим что мера других углов ABCD такова:…

А почему Вы решили, что такие значения для других углов возможны? Как раз таки предложенные значения невозможны (например, обязано выполняться равенство $\angle ACB=\angle ADB$, поскольку это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB$).

[lixon]

Действительно, вы правы - хоть на чертеже от руки вроде все сходилось, но когда попробовал построить такую фигуру с помощью транспортира то не вышло. В действительности наверное что мне было нужно так это понять как доказать теорему (2) а не пытаться сначала найти контр-пример. Подумав немного я понял как она доказывается (практически очень похоже на одну из сторон теоремы (1)), сейчас все понятно, спасибо.