Можно ли продолжить решение ОДУ?

[DLL]

Пусть есть ОДУ на вектор-функцию $\vec{p}(s) = (p_1(s), p_2(s), p_3(s))$ без начальных условий:

$$& {\vec{p}_s} +\frac{p-\sin(p)}{p^3}\,\left(\vec{p}\,\left(\vec{p}\cdot{\vec{p}_s}\right)-p^2\,{\vec{p}_s}\right)-\frac{1-\cos(p)}{p^2}\,\vec{p}\times {\vec{p}_s}\,\label{kappa} = \vec{k}(s),$$

где $p = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2}, \vec{k}(s)$ - некоторый вектор, заданный на конечном интервале [0,1].

Относительно $\vec{p}_s$ уравнение линейное, определитель

$$J = \frac{2 \cos(p) - 1}{p^2}.$$

Выбирая для уравнения любое начальное условие $p(0)$, чтобы определитель не обращался в нуль, можно решить уравнение локально. Как узнать: всегда ли можно продолжить решение на весь отрезок $[0,1]$?

[пианист]

Стандартные средства типа проверить липшицевость правой части на нужном интервале не помогают?

[DLL]

Если мы разрешим ОДУ относительно $\vec{p}_s$, то получим

$$\vec{p}_s = \frac{1}{J} A(\vec{p}) \vec{k}(s),$$

где элементы матрицы $a_{ij}$ являются полиномами (от компонент и аналитических функций)

$$P = P(p_1, p_2, p_3, \frac{p - \sin(p)}{p^3}, \frac{1 - \cos(p)}{p^2}).$$

.
Как получить из полинома липшицевость не очень понятно. Вдобавок, еще и знаменатель который при $p = \frac{\pi}{2} + \pi n$ обращается в нуль

[svv]

А что такое $\vec{p}_s$ ? Известен? От $s$ зависит?

А, понял. Это производная $\vec {p}$ по $s$.

[Red_Herring]

DLL в сообщении #1160887 писал(а):

$J = \frac{2 \cos(p) - 1}{p^2}$

и

DLL в сообщении #1161088 писал(а):

еще и знаменатель который при p = $\frac{\pi}{2} + \pi n$ обращается в нуль

противоречат друг другу. И если нет липшицевости (из-за сингулярности) то и с прохождением решения через сингулярность неясно. Так что с определителем разберитесь

С другой стороны, хорошая новость: умножая скалярно уравнение на $\vec{p}$ мы получим $(\vec{p}^2)_s = \vec{k}(s)\cdot \vec{p} \implies |p_s|\le |k(s)|$ и если $k(s)$ ограничена, то и $p(s)$ тоже

[DLL]

svv в сообщении #1161092 писал(а):

А что такое $\vec{p}_s$ ? Известен? От $s$ зависит?

А, понял. Это производная $\vec {p}$ по $s$.

Да, единственная независимая переменная - $s$.
Вот что еще в глаза бросается, если умножить уравнение скалярно на $p$, то получается:

$$\vec{p}_s \cdot \vec{p} = \vec{k}(s) \cdot \vec{p},$$

или

$$ (p^2)_s = 2 \vec{k}(s) \cdot \vec{p} \leq k^2(s) + p^2.$$

Вот что-то не могу до конца понять - помогает это или нет?

[Red_Herring]

DLL в сообщении #1161096 писал(а):

Вот что-то не могу до конца понять - помогает это или нет?

Если Вы разберетесь с сингулярностями, то это безусловно помогает, поскольку при липшицевой правой части решение ОДУ первого порядка (или системы) может разрушиться только став неограниченным (а вот для УЧП все гораздо сложнее)

[DLL]

Red_Herring в сообщении #1161095 писал(а):

DLL в сообщении #1160887 писал(а):

$J = \frac{2 \cos(p) - 1}{p^2}$

и

DLL в сообщении #1161088 писал(а):

еще и знаменатель который при p = $\frac{\pi}{2} + \pi n$ обращается в нуль

противоречат друг другу.

Прошу прощения, ошибся. Правильный детерминант

$$J = \frac{2 (\cos(p) - 1)}{p^2}.$$

И имеет нули при $p = 2 \pi n, n \neq 0$.

[Red_Herring]

Тогда если $|p(0)-2\pi n|\ge \epsilon\qquad \forall n$ и $\int_0^1 |k(s)|\,ds\le \delta=\delta(\epsilon)$, ответ положительный (решение не доберется до сингулярности).

А что будет при $k(s)=0$ и $p(0)=\rho$? В этом случае $p(s)=\rho$. Заметим, что Ваша система инвариантна относительно вращений, т.е. на сфере какой система будет?

[DLL]

Вообще, без ограничения общности можем считать, что $p(0) \in [0,2 \pi)$.
По большому счету мне интересно следующее: можем ли мы для наперед заданной (сколь угодно хорошей) функции $\vec{k}(s)$, выбрать начальное условие так, чтобы решение существовало сразу на всем интервале?

[Red_Herring]

Тут важнее не "хорошесть" (гладкость), а величина. Хотите исследовать--разделяйте радиальную и сферические компоненты

[svv]

Если разрешить уравнение относительно производной, оно, по-моему, даже проще будет:

$$\vec p_s=\vec k+\frac 1 2\vec p\times\vec k+\left(1-\frac{p(1+\cos p)}{2\sin p} \right)\dfrac{\vec p\times(\vec p\times\vec k)}{p^2}$$

[Red_Herring]

svv в сообщении #1161148 писал(а):

Если разрешить уравнение относительно производной, оно, по-моему, даже проще будет:

Это хорошо, но все равно, разделите на радиальную и сферическую части. Про радиальную мы уже знаем

[svv]

$$\vec p_s=\dfrac{\vec p\cdot\vec k}{p^2}\;\vec p+\frac 1 2\;\vec p\times\vec k -\frac{1+\cos p}{2p\sin p}\;\vec p\times(\vec p\times\vec k)$$

[DLL]

Симпатичная формула.