Фокус с чашкой и SO(3)

[Slav-27]

Фиксируем в 3-мерном пространстве ортонормированный базис; тогда каждый ортонормированный положительно ориентированный базис задаёт вращение -- элемент $\mathrm{SO(3)}$, и наоборот.

Теперь представим, что рука плоская, то есть это лента с фиксированным началом (изометрическое погружение ориентированной плоской прямоугольной полосы в 3-мерное пространство). На ней задан ортонормированный репер: в каждой точке центральной линии ленты один вектор касается центральной линии ленты (и направлен от начала ленты к концу), другой перпендикулярен ему и касается ленты так, чтобы получился положительный базис ленты, третий перпендикулярен обоим так, чтобы получился положительно ориентированный базис 3-мерного пространства. Этот базис непрерывно меняется вдоль ленты от начала её к концу.

Таким образом ленты (с одинаковым началом) представляют пути в $\mathrm{SO}(3)$ (с одинаковым началом). При этом если конец ленты параллелен началу и повёрнут с ним одинаково, то лента представляет петлю.

Таким образом перемещение ленты при фиксированном конце и начале (допускается только их параллельное смещение) представляет гомотопию петель в $\mathrm{SO(3)}$, а невозможность убрать таким образом закручивание на один оборот -- существование нетривиальной петли.