Фокус с чашкой и SO(3)

[Mikhail_K]

В книге Эдуарда Френкеля "Любовь и математика" рассказывается о таком трюке. Держа ладонь строго параллельно полу (что контролируется, например, если на ладони стоит чашка и нужно её не уронить), можно сделать рукой оборот на 360 градусов, при этом рука вроде бы вернётся в исходное положение, но будет вывернута неестественным образом. Тем не менее, можно сделать ещё один оборот в том же (!) направлении, после чего рука не выворачивается ещё больше, а возвращается в нормальное состояние.
См. рисунок http://www.screencapture.ru/file/7A091499

В книге говорится, что этот трюк демонстрирует тот факт, что в пространстве $\mathrm{SO}(3)$ вращений трёхмерного пространства (оно гомеоморфно также проективному пространству $\mathbb{R}\mathrm{P}^3$) есть нетривиальный замкнутый путь (не гомотопный нулю), двойное прохождение которого уже гомотопно нулю. Типа, первый оборот руки и есть тот самый замкнутый нетривиальный путь по $\mathrm{SO}(3)$, а когда мы его удваиваем, рука возвращается в исходное состояние - и значит, такой путь гомотопен нулю.

Кто-нибудь может объяснить более подробно, как именно вращение руки связано с данным математическим фактом о пространстве $\mathrm{SO}(3)$? В частности, не очень понятно:
1) Почему неестественная вывернутость руки в конце первого оборота свидетельствует о негомотопности нулю соответствующего пути в $\mathrm{SO}(3)$?
2) Смущает также, что на самом деле второй оборот не полностью копирует первый (!) Именно, если при первом обороте ладонь находится ниже остальной части руки, то при втором - выше. Если же попытаться во время второго оборота полностью скопировать движения первого, то рука на самом деле начнёт выворачиваться ещё больше, и в силу этого вряд ли удастся закончить движение. Почему из этих двух способов повторения полного оборота выбирается один, и именно он свидетельствует о гомотопности нулю удвоенного пути? Почему второй вариант повторения полного оборота, когда рука выворачивается ещё больше, не свидетельствует о негомотопности нулю этого удвоенного пути?

[Aritaborian]

Mikhail_K, нельзя ли привести картинку прямо здесь? По ссылке требуют залогиниться в Yahoo.
UPD. Нашёл книгу; вот та самая страница из неё.

[Mikhail_K]

Aritaborian, ссылка на картинку исправлена, теперь не должны ничего требовать.
http://www.screencapture.ru/file/7A091499
Если вылезает постороннее окошко, просто закройте его крестиком.
Как вставлять сюда картинки, я пытался научиться, но так и не научился :(

-- 05.12.2015, 15:21 --

Да, именно эта картинка и имелась в виду.

[Aritaborian]

Mikhail_K в сообщении #1079734 писал(а):

Как вставлять сюда картинки, я пытался научиться, но так и не научился :(

См. выше, я дополнил своё сообщение. А научиться проще простого. См. инструкции.

[AlexDem]

Для простоты можно взять ленту Мёбиуса (это односторонняя поверхность) и посмотреть, как ведёт себя торчащий из неё вектор нормали при полном обороте по кольцу.

-- Сб дек 05 2015, 15:32:29 --

(там тоже кажется, что вектор проходит "сверху" и "снизу", но сторона-то одна)

[Mikhail_K]

AlexDem, с листом Мёбиуса понятно, но хотелось бы всё-таки услышать ответы на мои вопросы 1), 2) по поводу $\mathrm{SO}(3)$. Мне вообще не очень ясно, как положение руки связано с пространством $\mathrm{SO}(3)$. Видимо, в каком-то смысле положение ладони можно считать элементом $\mathrm{SO}(3)$, но в ограниченном смысле: например, при том же самом обороте на 360 градусов мы, по идее, совершаем замкнутый путь по $\mathrm{SO}(3)$ и возвращаемся в ту же точку, но рука не возвращается в исходное состояние. Что именно показывает тогда состояние руки, если не элемент $\mathrm{SO}(3)$? Причём здесь гомотопность/негомотопность нулю?

AlexDem, если Вы привели пример с листом Мёбиуса в том смысле, что состояние руки это вектор торчащий из элемента $\mathrm{SO}(3)$, тогда это мне тем более непонятно - почему это так? Если же Вы не имели это в виду, тогда непонятно, к чему вообще Ваш пример.

[AlexDem]

Mikhail_K в сообщении #1079748 писал(а):

Мне вообще не очень ясно, как положение руки связано с пространством $\mathrm{SO}(3)$.

Я читал про этот опыт в какой-то другой книге, и там говорилось, что рука выполняет роль резиновой ленты, прикреплённой к перемещаемому предмету.

Mikhail_K в сообщении #1079748 писал(а):

если Вы привели пример с листом Мёбиуса в том смысле, что состояние руки это вектор торчащий из элемента $\mathrm{SO}(3)$,

Нет. Вы попробуйте проделать то, что я описал, вместо вектора взяв какой-нибудь предмет. И у Вас получится, что предмет сначала пройдёт "сверху" ленты, а потом - "снизу". Навскидку кажется, что здесь та же ситуация, что и с рукой. Пойти поэкспериментировать что ли - привязать монетку лентой и провести пару раз по ленте Мёбиуса, посмотреть что получается...

[Mikhail_K]

AlexDem в сообщении #1079749 писал(а):

Я читал про этот опыт в какой-то другой книге, и там говорилось, что рука выполняет роль резиновой ленты, прикреплённой к перемещаемому предмету.

Ого! Начинаю понимать. Неестественное состояние руки означает, что хотя элемент $\mathrm{SO}(3)$ тот же самый, что и в начале путь к нему, проделанный "резиновой лентой", нельзя превратить в кратчайший путь, не изменяя самого элемента (не поворачивая руки). Но это и означает негомотопность.

[Munin]

Картинки воспроизводят аналогичную демонстрацию Фейнмана. (Я не знаю, первым ли он это придумал, но он популяризовал эту демонстрацию в преподавании квантовой механики.)

[Mikhail_K]

Может быть, укажете ссылку, где эта иллюстрация и её связь с математикой комментируется более подробно, чем у Френкеля?

[Munin]

Ссылка на Фейнмана:
Фейнман, Вайнберг. Элементарные частицы и законы физики.
Фейнман ссылается на Дирака, но Дирак, видимо, демонстрировал это не с рукой и стаканом, а с ножницами и/или лентой (ремнём). Непосредственно дираковская демонстрация изложена в
Пенроуз, Риндлер. Спиноры и пространство-время. Т. 1. Стр. 64-65, рис. 1.13.
Фейнман говорит, что демонстрация со стаканом принадлежит танцовщицам, и поэтому его демонстрация (по крайней мере, в связи с группой $\mathrm{SO}(3)$ - видимо, его изобретение.

[Xey]

Если смотреть на ладонь из точки прикепления руки к телу (плеча), то видно, что ладонь поворачивается на оборот в одну сторону , а потом в другую.

Аналочичная ситуация
Если правой рукой наматывать веревку на кисть и локоть левой, то веревка закручивается и начинает путаться. Чтобы не закручивалась , я через пять оборотов снимаю бухту с локтя, переворачиваю ее и вновь одеваю на локоть. Следующие пять оборотов делаю в другую сторону, при этом веревка раскручвается. И т.д.
Если смотреть со стороны лежащей на земле веревки, сначала я мотаю в одну сторону, а потом в другую.

[ИСН]

Просто чтобы было: https://en.wikipedia.org/wiki/Orientation_entanglement

[Mikhail_K]

Не могли бы вы объяснить мне. Пусть я буду держать руку вытянутой и буду вращать её вокруг своей оси, так чтобы ладонь попеременно была направлена вверх, вбок, вниз, вбок, снова вверх... При этом я также буду совершать некоторый путь по $\mathrm{SO}(3)$. Почему здесь нет такого же эффекта, и второй оборот я даже не смогу совершить из-за чрезмерного перекручивания, а если бы и смог, то он точно не вернул бы руку в исходное состояние?

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1079842 писал(а):

а если бы и смог, то он точно не вернул бы руку в исходное состояние?

Вернул бы. В том смысле, что руку можно вернуть в исходное состояние так, что в процессе ладонь всё время смотрит в одну и ту же сторону, раскручивая петлю в районе локтя в горизонтальной плоскости.

-- Вс, 06 дек 2015 01:48:08 --

Можно ещё потренироваться с usb-кабелем или чем-то похожим с двумя плоскими концами. Изгибая его в пространстве так, чтобы оба плоских конца в процессе не меняли направления, можно закрутить его только на чётное число оборотов.