Доказать, что функция постоянна

[Sul]

Задачка с вступительных в ШАД 2016:

Пусть $f: R^2 \to R$ - ограниченная гладкая функция, причем ее среднее значение на каждой окружности радиуса $1$ равно значению в центре этой окружности. Докажите, что $f$ постоянна.

Что-то никак не удается решить. По свойствам похоже на гармоническую функцию, но вряд ли удастся это доказать. Так же, если бы достигался глобальный минимум, то можно было бы сказать, что на окружности вокруг этого минимума есть значение меньше, чем в центре. Но он может и не достигаться.
Был вариант: если есть два разных значения, то на окружности вокруг наименьшего есть значение еще меньше. Опишем окружность вокруг него, и так далее, получим последовательность строго убывающих значений. Но это мало что дает, потому что последовательность может сходиться и не будет противоречить ограниченности...

[Утундрий]

Sul в сообщении #1160255 писал(а):

похоже на гармоническую функцию, но вряд ли удастся это доказать

Вы всё-таки попробуйте.

[Vince Diesel]

Sul в сообщении #1160255 писал(а):

Так же, если бы достигался глобальный минимум, то можно было бы сказать, что на окружности вокруг этого минимума есть значение меньше, чем в центре. Но он может и не достигаться.

В этом случае поможет инверсия: переводит бесконечность в ноль.

[Sul]

Утундрий в сообщении #1160262 писал(а):

Sul в сообщении #1160255 писал(а):

похоже на гармоническую функцию, но вряд ли удастся это доказать

Вы всё-таки попробуйте.

Не представляю как. Для гармонических это лишь свойство, причем верно уже для окружности любого радиуса. Но в обратную сторону ни о чем подобном не слышал.

-- 16.10.2016, 18:19 --

Кстати, частные производные функции тоже удовлетворяют этому свойству среднего по окружности, как я понял. Но как-то это не помогает.

[Sul]

Если кто-то знает, как решать - подскажите в каком направлении мыслить, а то я в тупике

[Vince Diesel]

Дубль два: инверсия.

[Sul]

Vince Diesel в сообщении #1160454 писал(а):

Дубль два: инверсия.

А можно чуть поточнее? Что именно предлагаете сделать?

[Brukvalub]

Поскольку функция ограничена, то у множества ее значений есть точная нижняя грань. Если эта точная нижняя грань достигается в некоторой точке, то вы знаете, как рассуждать. Остается рассмотреть случай, когда эта грань не достигается, и тогда есть бесконечно большая последовательность аргументов, такая, что множество значений на этих аргументах сходится к рассматриваемой грани. Вот тут-то и сгодится инверсия.

[g______d]

Присоединяюсь к клубу ничего не понявших про инверсию.

Заодно посоветую вместо этого сделать преобразование Фурье.

[svv]

Отлично, теперь у нас два клуба.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1160825 писал(а):

Заодно посоветую вместо этого сделать преобразование Фурье.

Вступаю в клуб ничего не понявших про преобразование Фурье.
Например, классическое преобразование Фурье гарантированно применимо только к $L^1$, а в условии оговаривается лишь ограниченность функции. Или речь идет о преобразовании Фурье распределений?

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1160834 писал(а):

Или речь идет о преобразовании Фурье распределений?

Да.

Ну т. е. надо посмотреть на оператор, который вычисляет среднее значение на окружности вокруг данной точки и вычитает значение функции в центре. В Фурье-представлении получится оператор умножения. Какие распределения в его ядре -- понятно.

-- Вт, 18 окт 2016 06:18:43 --

Brukvalub в сообщении #1160834 писал(а):

лишь ограниченность

и гладкость

-- Вт, 18 окт 2016 06:18:58 --

А про инверсию всё равно не понял.

[Vince Diesel]

Пусть последовательность точек плоскости $u_n\to\infty$ и $m=\inf_{\mathbb R^2}f=\lim_{n\to\infty}f(u_n)$. Обозначим через $v_n$ образы $u_n$ при инверсии относительно окружности $C$ единичного радиуса с центром в нуле. Пусть $C_n\to C$ $-$ последовательность окружностей единичного радиуса, которые после инверсии имеют центр $v_n$. Тогда, по непрерывности, среднее значений по $C_n$ имеет предел, равный среднему по $C$, т.е. $f(0)$, а с другой стороны, предел равен $m$. Таким образом, инфинум достигается в начале координат.

[g______d]

Vince Diesel в сообщении #1160839 писал(а):

а с другой стороны, предел равен $m$.

Мне даже стыдно признаваться, но не понимаю. Среднее значение по $C_n$ равно $f(v_n)$. Каким образом оно связано с $f(u_n)$?

[Vince Diesel]

Берутся единичные окружности, близкие к единичной с центром в нуле, у которых центр после инверсии равен $v_n$.

Рассмотрим единичную окружность с центром в $(x,0)$, $|x|<1$. После инверсии это будет окружность с центром, также близким к нулю. Можно и точно посчитать, будет $(x/(x^2-1),0)$. Пусть теперь $v_n$ лежит на действительной оси. Подберем теперь $x$ так, чтобы $v_n=(x/(x^2-1),0)$.