Параметр

[stedent076]

Доброго времени суток:
Попалась задача:
При каких значениях параметра $a$ система

$$ \begin{cases} \sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+a)^2}=|\sqrt{2}a|\\ x^2+y^2\leqslant 8 \end{cases} $$

имеет одно решение?
_____________________________
Второе ур-е – круг радиуса $2\sqrt{2}$ с центром в нуле. Первое – сумма расстояний от некоторой точки $A$, имеющей коррдинаты $(x;y)$ до точек $B(a;0)$ и $C(0;-a)$. Причем, система инвариантна относительно замены $(x;y)$ на
$(-x;-y)$. Поэтому условию задачи удовл. только точка $(0;0)$. А из первого уравнения, следует ( если подставить в него $x=0$ и $y=0$), что $a=0$.
Но мне кажется, что есть еще значения $a$, которые подх. данной задаче, это действительно так, или мое решение правильно?

[Dmitriy40]

Первое уравнение - это уравнение эллипса с фокусами $B$ и $C$. Но в данном случае все точки эллипса укладываются на одну простую фигуру (найдите какую) и исходная задача резко упрощается, т.к. достаточно найти условие касания первой фигурой второй (круга). Вы же нашли лишь условие стягивания первой фигуры в точку, причём внутри круга. Это тоже решение, но лишь одно из трёх, на мой взгляд: $a=0, a=\pm \operatorname{const}$.
Т.е. логический переход

stedent076 в сообщении #1159902 писал(а):

Причем, система инвариантна относительно замены $(x;y)$ на $(-x;-y)$. Поэтому условию задачи удовл. только точка $(0;0)$.

неправомочен, графики симметричны относительно оси, но из этого не следует что точка лишь одна (на оси симметрии).

[DeBill]

stedent076 в сообщении #1159902 писал(а):

система инвариантна относительно замены $(x;y)$ на
$(-x;-y)$.

Здесь - ошибка: надо $(x,y) \to (-y,-x)$

-- 15.10.2016, 12:54 --

И - еще: посмотрите на неравенство треугольника в Вашем $ABC$

[stedent076]

DeBill

DeBill в сообщении #1159930 писал(а):

И - еще: посмотрите на неравенство треугольника в Вашем $ABC$

$AB+AC>BC; BC=\sqrt{2a^2}$. Получается, что для любого $a\ne 0$ уравнение
$\sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+a)^2}=|\sqrt{2}a|$ не имеет решений, т.к. левая часть всегда больше правой?

[Otta]

Неравенство треугольника нестрогое, вообще говоря. Иногда.

[stedent076]

Otta
Равенство будет в случае, когда $A$ лежит на прямой $BC$?

[Otta]

Не совсем так. Порисуйте чуток. Поскладывайте. :)

[stedent076]

Otta
Ну про случай $a=0$ я уже говорил. Я не знаю, короче)

[Otta]

stedent076 в сообщении #1160150 писал(а):

Я не знаю, короче)

Ну это самый простой способ решения. :)

А если озаботиться им всерьез, то в лучших современных традициях можно даже и в википедии найти, про неравенство треугольника - раз уж на картинке не прикинуть.

[DeBill]

stedent076 в сообщении #1160142 писал(а):

на прямой

Мобыть, Вы имели в виду отрезок?

[stedent076]

Otta

Цитата:

Пусть дан треугольник $\Delta ABC$. Тогда ${\displaystyle |AC|\leqslant |AB|+|BC|,} |AC|\leqslant |AB|+|BC|$, причём равенство ${\displaystyle |AC|=|AB|+|BC|} |AC|=|AB|+|BC|$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка $B$ лежит строго между $ A $и $ C$.

-- 16.10.2016, 00:46 --

DeBill
Да

[Otta]

stedent076
Ага. (А буков зачем по две?)

-- 16.10.2016, 01:48 --

Ой, треугольников тоже )) И вообще всех формул :)

[stedent076]

Otta Код в википедии такой, какие-то символы отображаются нормально, а какие-то "удваиваются".