Об операторе фазы

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1155502 писал(а):

Образуют, бесконечномерную группу. Оно Вам надо?

Ну а что поделать, наверняка без этого никуда.

Red_Herring в сообщении #1155502 писал(а):

В алгебре то будут неограниченные операторы, и как их коммутаторы брать?

Разве структура алгебры их не подсказывает?

Утундрий в сообщении #1155516 писал(а):

P.S. А если серьёзно, то в ТФКП.

То, что в ТФКП, я понимаю. А вот как оно связано с матрицами - нет. "Резольвента" - для меня страшное непонятное слово.

g______d в сообщении #1155521 писал(а):

Ну и понимание того, что ветвь в принципе нужна. Это входит в школьную программу даже по Munin.

Нет, это - не вошло.

[g______d]

Munin в сообщении #1155546 писал(а):

То, что в ТФКП, я понимаю. А вот как оно связано с матрицами - нет. "Резольвента" - для меня страшное непонятное слово.

Если $A$ — самосопряженная, унитарная или нормальная матрица с собственными значениями $\lambda_i$ и собственными векторами $v_i$, то $f(A)$ можно определить как матрицу с собственными значениями $f(\lambda_i)$ и теми же собственными векторами. Никаких резольвент не нужно, и это обычно произносится в курсе линейной алгебры.

[Munin]

Так. Можно. Что дальше? Я тупой, разжуйте по шагам, пожалуйста.

[Red_Herring]

Ну у унитарного оператора спектр лежит на окружности, а вот логарифм--многозначная функция на комплексной плоскости, и если нет разреза, то многозначность это плата за непрерывность

[Munin]

А, то есть вопрос только в том, что логарифмирование - действие неоднозначное? А не по барабану ли?

[amon]

Если я правильно понял идею g______d, он предлагает заменить эрмитов оператор фазы унитарным, и тогда проблема $2\pi$ уйдет. Однако, как я понимаю, это не главная проблема. С подачи уважаемого Утундрий'я вспомнилось, что похожий случай будет с коровой Машкой полярным углом $\phi$ (это что бы от фазы отличать) и проекцией углового момента $L_z$. Они тоже канонически сопряженные, и $\phi$ задана на круге, но с ними большой проблемы нет. В этом случае спасает отсутствие ограничений снизу на спектр $L_z$. Подробности, если кому интересно, позже будут. Спектр $I$ ограничен снизу, поскольку это, с точностью до слагаемого, номер уровня осциллятора (или - число фононов, кому как нравится), и из-за этого ограничения все беды. Один из способов борьбы с фазой, предложенный В.Н.Поповым - ввести вместо $I$ оператор с конечным числом с.з., расположенных на кольце. При этом $a$ бегает по кольцу против часовой, а $a^+$ - по (или наоборот, в зависимости от того как что пронумеровали) при этом такой бяки как $U^+U|0\rangle=0$ ни где не будет, а исходная система получается предельным переходом. При этом, правда, не все с физикой здорово.

[realeugene]

amon в сообщении #1155057 писал(а):

Однако, оказывается, что оператор синуса фазы не коммутирует с оператором косинуса той же фазы

О! Размышлял над немного иным вопросом и, неожиданно, ответ на него обнаружил в этой теме.

Тема моих размышлений была следующей. Общепринято, что результаты измерений соответствуют эрмитовым операторам - наблюдаемым. Результат измерения, при этом, может, в принципе, оказаться произвольным действительным числом из спектра этой наблюдаемой. Однако, эта модель измерения не вполне точна. При измерении мы всегда измеренное значение оцифровываем, проводя цепочку сравнений и получая результат сравнений в виде цепочки из $N$ битов, представляющей измеренное значение без потери общности некоторым двоичным кодом. Такой процесс дискретизации отсчёта можно представить в виде линейки проводящих измерение компараторов, каждый компаратор выдаёт на выход число $0$ или $1$ и, следовательно, описывается некоторым проектором, так что, процесс измерения описывается набором из $N$ проекторов. Понятно, что если мы оцифровываем результат измерения некоторой наблюдаемой, то эта наблюдаемая коммутирует со всеми проекторами отдельных битов своего двоичного представления, и проекторы отдельных битов, также, коммутируют друг с другом. Вопрос, над которым я размышлял, был следующий: могут ли существовать измеряемые величины, у которых проекторы, соответствующие их отдельным битам, не коммутируют?

Так вот, похоже, обсуждаемая в этой теме фаза - это и есть пример такой величины, при оцифровке которой операторы измерения отдельных битов не коммутируют. Это легко заметить следующим образом. Выбрав в качестве единицы измерения фазы число периодов и оцифровывая дробную часть как результат измерения фазы, мы обнаруживаем, что два старших бита дробной части кодируют квадрант и могут быть измерены как знаки косинуса и синуса фазы, которые сами не коммутируют. Тут, конечно, нужно ещё строго доказать, что если не коммутируют синус с косинусом фазы, то не коммутируют также их знаки, но это кажется очень правдоподобным. А если знаки синуса и косинуса не коммутируют, то не коммутируют и операторы измерения двух старших битов двоичного представления фазы, следовательно, их измерить одновременно невозможно, а значит, можно таким образом доказать, что обсуждаемая фаза не может быть измерена.

Что думаете? Полный бред, или в этом что-то есть?

[amon]

realeugene в сообщении #1158950 писал(а):

процесс дискретизации отсчёта можно представить в виде линейки проводящих измерение компараторов, каждый компаратор выдаёт на выход число $0$ или $1$ и, следовательно, описывается некоторым проектором, так что, процесс измерения описывается набором из $N$ проекторов.

Я подозреваю, что к моменту оцифровки квантовые измерения, как правило, уже закончились, и начались классические. Пусть, для примера, мы считаем какие-нибудь фотоны фотоумножителем. Собственно процесс измерения - фотон выбил первичный электрон, а из последнего получился макроскопический ток. Оцифровываем мы уже этот макроскопический ток, и, вроде как, это уже повторное чисто классическое измерение. Т.е., мне кажется, что измерение и оцифровка - разные процессы, но на этом насмерть стоять не буду.

[realeugene]

amon в сообщении #1158963 писал(а):

Я подозреваю, что к моменту оцифровки квантовые измерения, как правило, уже закончились, и начались классические.

Да, как я слышал, это иная нерешённая проблема КМ: когда именно происходит коллапс волновой функции, и происходит ли он вообще? Мне кажется, это ни на что не влияет: в результате мы в любом случае получаем $N$ классических бит, каждый полученный бит - это результат жёсткого измерения над исходной квантовой системой, описываемого своей наблюдаемой, и биты можно измерить совместно только тогда, когда все эти наблюдаемые коммутируют друг с другом.

[realeugene]

g______d в сообщении #1155315 писал(а):

Вот в классической механике есть переменная угол -- она какая? Можно считать, что вещественная (и мучиться с $2\pi$), а можно считать, что комплексная, по модулю равная единице.

Кстати, хороший вопрос. И нужно минимум сколько классических измерений, чтобы измерить классический угол, если каждое классическое измерение должно выдавать одно действительное число и должно быть устойчивым, и, следовательно, непрерывным по углу поворота подопытной механической системы процессом?

Думаю, что ответ - минимум $2$ таких измерения. Классический угол - это точка на окружности. А так как окружность невозможно покрыть одной картой, то для измерения классического угла нужно минимум два устойчивых классических измерения.

[amon]

realeugene в сообщении #1159481 писал(а):

сколько нужно классических измерений, чтобы измерить классический угол

Тут такая петрушка. Фаза осциллятора ($\varphi=\omega t$) и полярный угол $\phi$ как координата на окружности это разные координаты. Если точка движется по окружности, то нарисовав угловые метки я узнаю, чему равен $\phi$ за один щелчек затвора фотоаппарата, сфотографировав свою точку на фоне шкалы. Как аналогичное измерение произвести для осциллятора (на чем шкалу нарисовать) я, честно говоря, не знаю.
Канонически сопряженной величиной к $\phi$ будет $z$-компонента углового момента $L_z$, а сопряженной к $\varphi$ будет амплитуда колебаний. Амплитуда, в отличии от $L_z$, всегда положительна (и как ее непосредственно измерить ясно тому самому ежу, на мнение которого тут не советовали особенно полагаться). Поэтому, при квантовании, с задачей об операторе $\hat{\phi}$ народ давно справился, а с $\hat{\varphi}$ - нет.

[realeugene]

amon в сообщении #1159514 писал(а):

Если точка движется по окружности, то нарисовав угловые метки я узнаю, чему равен $\phi$ за один щелчек затвора фотоаппарата, сфотографировав свою точку на фоне шкалы.

Сфотографировав точку на плоскости, мы проводим сразу два классических измерения: координаты $x$ и $y$. Безусловно, все классические измерения коммутируют и их можно провести над системой сколько угодно за раз. В случае фазы осциллятора аналогичными координатами являются две квадратуры, но их операторы не коммутируют.

Каюсь, совершенно не помню, как именно квантуют угол поворота и как строят его оператор. Но в нём таится самое интересное: как там обходятся с разрывом?

[g______d]

realeugene в сообщении #1159481 писал(а):

каждое классическое измерение должно выдавать одно действительное число

Ну, собственно, про это и был вопрос: стрелка на циферблате в классическом случае -- это одно измерение или два? Я считаю, что одно, поскольку степень свободы одна.

[realeugene]

g______d в сообщении #1159550 писал(а):

Ну, собственно, про это и был вопрос: стрелка на циферблате в классическом случае -- это одно измерение или два? Я считаю, что одно, поскольку степень свободы одна.

Ну, если вспомнить, сколько палочек и колбочек в глазах и нейронов в мозгу участвуют в измерении положения стрелки на циферблате, окажется, что там проводится гораздо больше измерений, чем одно или, даже, два. Дьявол таится в вопросе о том, что именно мы называем "измерением"? Всё-таки устойчивость процесса измерения и, следовательно, его непрерывность по состоянию измеряемой системы мне кажется важным условием в той модели измерения, когда мы рассматриваем получение одного действительного числа в результате измерения Допустив в этой модели неустойчивые процессы измерения можно зайти очень далеко, и хорошо бы ещё понимать, куда это может нас завести.

[amon]

g______d в сообщении #1159550 писал(а):

стрелка на циферблате в классическом случае -- это одно измерение или два?

Одно. И часовая шкала - это координаты $\phi$. А вот как такую (подобную) шкалу "нарисовать" для фазы $\varphi=\omega t$ маятника я не знаю. (Мы пока про классическую механику, если что).