Однако, оказывается, что оператор синуса фазы не коммутирует с оператором косинуса той же фазы
О! Размышлял над немного иным вопросом и, неожиданно, ответ на него обнаружил в этой теме.
Тема моих размышлений была следующей. Общепринято, что результаты измерений соответствуют эрмитовым операторам - наблюдаемым. Результат измерения, при этом, может, в принципе, оказаться произвольным действительным числом из спектра этой наблюдаемой. Однако, эта модель измерения не вполне точна. При измерении мы всегда измеренное значение оцифровываем, проводя цепочку сравнений и получая результат сравнений в виде цепочки из
битов, представляющей измеренное значение без потери общности некоторым двоичным кодом. Такой процесс дискретизации отсчёта можно представить в виде линейки проводящих измерение компараторов, каждый компаратор выдаёт на выход число
или
и, следовательно, описывается некоторым проектором, так что, процесс измерения описывается набором из
проекторов. Понятно, что если мы оцифровываем результат измерения некоторой наблюдаемой, то эта наблюдаемая коммутирует со всеми проекторами отдельных битов своего двоичного представления, и проекторы отдельных битов, также, коммутируют друг с другом. Вопрос, над которым я размышлял, был следующий: могут ли существовать измеряемые величины, у которых проекторы, соответствующие их отдельным битам, не коммутируют?
Так вот, похоже, обсуждаемая в этой теме фаза - это и есть пример такой величины, при оцифровке которой операторы измерения отдельных битов не коммутируют. Это легко заметить следующим образом. Выбрав в качестве единицы измерения фазы число периодов и оцифровывая дробную часть как результат измерения фазы, мы обнаруживаем, что два старших бита дробной части кодируют квадрант и могут быть измерены как знаки косинуса и синуса фазы, которые сами не коммутируют. Тут, конечно, нужно ещё строго доказать, что если не коммутируют синус с косинусом фазы, то не коммутируют также их знаки, но это кажется очень правдоподобным. А если знаки синуса и косинуса не коммутируют, то не коммутируют и операторы измерения двух старших битов двоичного представления фазы, следовательно, их измерить одновременно невозможно, а значит, можно таким образом доказать, что обсуждаемая фаза не может быть измерена.
Что думаете? Полный бред, или в этом что-то есть?