Конечная мера на сигма-алгебре

[Piros]

Наткнулся на Ширяеве на задачу (задача 3, глава II, параграф 1):

Пусть $\mu$ - конечная мера на $\sigma$-алгебре $\mathcal{F}$, $A_n \in \mathcal{F}$, $n = 1, 2, ..., $ и $\displaystyle{A = \lim_{n} A_n}$, (т.е. $\displaystyle{A = \overline{\lim} A_n = \underline{\lim} A_n }$). Показать, что $\displaystyle{\mu(A) = \lim_{n} \mu (A_n)}$.

Идеи были решить задачу через оценки:

$$ \mu(A) \leq \mu(\bigcup_{m = n}^{\infty} A_m) \leq \sum\limits_{m = n}^{\infty} \mu(A_n) \ \ \forall m > 1 $$

$$ \mu(A) \geq \mu(\bigcap_{m = n}^{\infty} A_m) \geq \mu(A_m) \ \ \forall m > 1 $$

Но тут только второе неравенство, скорее всего, полезное, а первое как-то преобразовать, либо искать какой-то другой способ решения задачи.

[mihaild]

Можно, например, начать так. Обозначим $P_n = \bigcap\limits_{m=n+1}^\infty A_m \setminus \bigcap\limits_{m=n}^\infty A_m$. При $n_1 \neq n_2$ будет $P_{n_1} \cap P_{n_2} = \varnothing$.
$A = \bigcup\limits_{n=0}^\infty \bigcap\limits_{m=n}^\infty A_m = \bigcap\limits_{m=n}^\infty A_m \cup \bigcup\limits_{m=n}^\infty P_m$. Т.к. $P_m$ попарно не пересекаются, а мера конечна, имеем для некоторого $n$: $\mu(\bigcup\limits_{m=n}^\infty P_m) < \varepsilon$, и $\mu(A) \leqslant \mu(\bigcap\limits_{m=n}^\infty A_m) + \varepsilon \leqslant \mu(A_m) + \varepsilon$.

Piros в сообщении #1159541 писал(а):

$$ \mu(\bigcap_{m = n}^{\infty} A_m) \geq \mu(A_m) \ \ \forall m > 1 $$

Это какой-то странный переход.