4 variables

[ghenghea]

Let $x,y,z,t \in \mathbb{R_+}$.Prove that $\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{xt}+\sqrt{yz}+\sqrt{yt}+\sqrt{zt}\ge 3\sqrt[3]{xyz+xyt+xzt+yzt} $.

[DeBill]

ghenghea
$\frac{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt})+(\sqrt{xz}+\sqrt{yt})+(\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})}{3} \geqslant 3\sqrt[3]{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt}) \cdot (\sqrt{xz}+\sqrt{yt}) \cdot (\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})} $
Полагая $x=a^2, y=b^2, z=c^2, t=d^2$, получим, что надо
$(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \geqslant a^2b^2c^2 +a^2b^2d^2+a^2c^2d^2 +b^2c^2d^2$. После открытия скобок и сокращений, справа все пропадет, и будет правда.
Итого: неравенство можно усилить, добавив под корнем справа двойку (чтоб было равенство при равенстве всех); тогда на последнем этапе будет не очевидная весчь, а - транснеравенство...

[Sergic Primazon]

DeBill в сообщении #1159208 писал(а):

ghenghea
$\frac{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt})+(\sqrt{xz}+\sqrt{yt})+(\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})}{3} \geqslant 3\sqrt[3]{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt}) \cdot (\sqrt{xz}+\sqrt{yt}) \cdot (\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})} $
Полагая $x=a^2, y=b^2, z=c^2, t=d^2$, получим, что надо
$(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \geqslant a^2b^2c^2 +a^2b^2d^2+a^2c^2d^2 +b^2c^2d^2$. После открытия скобок и сокращений, справа все пропадет, и будет правда.
Итого: неравенство можно усилить, добавив под корнем справа двойку (чтоб было равенство при равенстве всех); тогда на последнем этапе будет не очевидная весчь, а - транснеравенство...

После открытия скобок и сокращений будет правда :

$$abcd ( a^2+b^2+c^2+d^2) \ge 0 $$

Итого: неравенство усилить нельзя ) $ x \rightarrow 0 , y=z=t$

[DeBill]

Упс: действительно, это $(3,1,1,1) > (2,2,2,0) $ Же не выполняется, и транснеравенства не прокатят....