ghenghea![$\frac{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt})+(\sqrt{xz}+\sqrt{yt})+(\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})}{3} \geqslant 3\sqrt[3]{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt}) \cdot (\sqrt{xz}+\sqrt{yt}) \cdot (\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})} $ $\frac{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt})+(\sqrt{xz}+\sqrt{yt})+(\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})}{3} \geqslant 3\sqrt[3]{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt}) \cdot (\sqrt{xz}+\sqrt{yt}) \cdot (\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/d/eadfdac50d7b5dc909e393279364c70d82.png)
Полагая

, получим, что надо

. После открытия скобок и сокращений, справа все пропадет, и будет правда.
Итого: неравенство можно усилить, добавив под корнем справа двойку (чтоб было равенство при равенстве всех); тогда на последнем этапе будет не очевидная весчь, а - транснеравенство...