Вариационное исчисление. Уравнение Эйлера.

[Charlz_Klug]

Есть недопонимание. Есть некоторая функция $F = F(x, y, y')$. Уравнение Эйлера выглядит так: $F_y - \frac {d} {dx} F_{y'} = 0$, где $F_y = \frac {\partial} {\partial y} F(x, y, y')$, $F_{y'} = \frac {\partial} {\partial y'} F(x, y, y')$.

Рассматривается случай когда $F = F (y')$. Утверждается, что уравнение Эйлера имеет вид $F_{y' y'} y'' = 0$, так как $F_y = F_{x y'} = F_{y y'} = 0$.

Обозначение $F_y$ мне понятно: $F_{y} = \frac {\partial} {\partial y} F(y')$ действительно равно нулю, поскольку переменной $y$ в $F(y')$ нет и всё выражение $F(y')$ можно считать константой, а производная константы равна нулю. Мне непонятны обозначения $F_{xy'}$ и $F_{y y'}$ что за ними кроется?

Я думаю следующим образом: $\frac {d} {d x}F_{y'} = F_{x y'} y''$, то есть взяли производную по $y'$ от $F(y')$, а потом ещё раз взяли производную по $x$. В результате появляется $y''$. А вот откуда появляются $F_{yy'}$ и $F_{y'y'}$ непонятно. Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь.

[DeBill]

Charlz_Klug в сообщении #1158926 писал(а):

Я думаю следующим образом: $\frac {d} {d x}F_{y'} = F_{x y'} y''$

И зря. Вообще говоря, см. начало текста, как сама $F$, так и $F_{y'}$ есть функция трех переменных : $x, y$ и $y'$. Мы собираемся дифф-ть эту $F_{y'}$ по переменной $x$ (однако нам надо помнить счас, что оба ейных аргумента $y$ и $y'$ сами есть функции от $x$). Вот теперь и появятся три слагаемых, из которых два - благодаря спец. виду $F$ исчезнут, и останется ровно то , что останется

Charlz_Klug в сообщении #1158926 писал(а):

вид $F_{y' y'} y' = 0$

(только будет $y''$ вместо $y'$)...

[svv]

Charlz_Klug в сообщении #1158926 писал(а):

Мне непонятны обозначения $F_{xy'}$ и $F_{y y'}$ что за ними кроется?

Дифференцирование по соответствующей переменной (или по нескольким) так, как будто все три переменные $x,y,y'$ являются независимыми.

Например, пусть $y=x^2$, $F(x, y, y')=x^3+y^2 y'$. Тогда
$F_x=3x^2$
$F_y=2yy'$
$F_{y'}=y^2$
$F_{yy'}=2y$
Но
$\frac d{dx}F=F_x\frac{dx}{dx}+F_y\frac{dy}{dx}+F_{y'}\frac{dy'}{dx}=F_x+F_y y'+F_{y'} y''=$
$=3x^2+2yy'^2+y^2y''=3x^2+10x^4$
То же самое получится, если сначала в функционале выразить $y$ и $y'$ через $x$, а полученную функцию одной переменной $x$ продифференцировать.

[Charlz_Klug]

svv в сообщении #1158958 писал(а):

$F_{yy'}=2y$

Это значит что вначале нужно дифференцировать по $y'$, а затем по $y$? А разрешается ли наоборот: сначала по $y$, а потом по $y'$?

-- 11.10.2016, 20:30 --

DeBill в сообщении #1158937 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1158926 писал(а):

вид $F_{y' y'} y' = 0$

(только будет $y''$ вместо $y'$)...

Спасибо, поправил.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1158999 писал(а):

Это значит что вначале нужно дифференцировать по $y'$, а затем по $y$? А разрешается ли наоборот: сначала по $y$, а потом по $y'$?

А Вы попробуйте обоими способами и сравните.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1159002 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1158999 писал(а):

Это значит что вначале нужно дифференцировать по $y'$, а затем по $y$? А разрешается ли наоборот: сначала по $y$, а потом по $y'$?

А Вы попробуйте обоими способами и сравните.

Если взять функционал вида $F = y^{y'}$. То получается что нет:

$1\text{)}$ Вначале дифференцируем по $y'$ получаем $y^{y'} \ln {y}$, теперь дифференцируем по $y$ получаем $y' y^{y' - 1} \ln {y} + \frac {y^{y'}} {y}$

$2\text{)}$ Дифференцируем по $y$ получаем $y' y^{y'-1}$, далее дифференцируем по $y'$ получаем $y^{y'-1} + y' y^{y'-1} \ln {y}$

Возникает вопрос: какой способ правильный?

[Slav-27]

Charlz_Klug
А вы не видите, что одно и то же получилось?

Для хороших функций частные производные можно вычислять в любом порядке, и результат одинаковый.

[svv]

Charlz_Klug в сообщении #1158999 писал(а):

svv в сообщении #1158958 писал(а):

$F_{yy'}=2y$

Это значит что вначале нужно дифференцировать по $y'$, а затем по $y$?

Тут переменные, по которым производится последовательное дифференцирование, перечисляются слева направо.
Хоть на результат это и не влияет. Но если бы влияло...

[Charlz_Klug]

Slav-27 в сообщении #1159023 писал(а):

Charlz_Klug
А вы не видите, что одно и то же получилось?

Действительно, проморгал. Спасибо.

Slav-27 в сообщении #1159023 писал(а):

Для хороших функций частные производные можно вычислять в любом порядке, и результат одинаковый.

Какие функции хорошие, а какие плохие?

-- 11.10.2016, 22:33 --

svv в сообщении #1159038 писал(а):

Тут переменные, по которым производится последовательное дифференцирование, перечисляются слева направо.
Хоть на результат это и не влияет. Но если бы влияло...

Тогда математика была бы несколько другой?

[Slav-27]

Charlz_Klug
Если $f(x,y)$ дважды гладкая, то $f_{xy}=f_{yx}$.
Читайте Зорич "Математический анализ" т. 1 гл. 8 § 4 п. 3.

[Charlz_Klug]

Slav-27 в сообщении #1159046 писал(а):

Читайте Зорич "Математический анализ" т. 1 гл. 8 § 4 п. 3.

Опять Зорич. Начинал было $\text{---}$ не пошло в тот раз. Попробую ещё раз почитать. Всем спасибо за ответы! Стало много понятней.

[svv]

Charlz_Klug в сообщении #1159044 писал(а):

Тогда математика была бы несколько другой?

В некотором смысле (который надо предварять многими оговорками, чтобы этот смысл появился), неперестановочны частные производные по двум переменным из разных наборов независимых переменных, например, по декартовой координате $x$ и сферической координате $\varphi$.

[Charlz_Klug]

svv, спасибо за ответ и разъяснения!

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1159044 писал(а):

Какие функции хорошие, а какие плохие?

Если функция $f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$, имеет в этой окрестности частные производные $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$, $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ и смешанные производные $\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}$, $\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}$, причём, смешанные производные непрерывны в точке $(x_0,y_0)$, то $\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}$.

Это не самая сильная формулировка, но обычно приводят её.

Стандартным примером функции, у которой смешанные производные не совпадают (в точке $(0,0)$), является

$$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2},\text{ если }(x,y)\neq(0,0),\\ 0,\text{ если }(x,y)=(0,0).\end{cases}$$

Теорему для смешанных производных более высокого порядка посмотрите в учебнике.

Charlz_Klug в сообщении #1159055 писал(а):

Опять Зорич. Начинал было $\text{---}$ не пошло в тот раз.

Не нравится учебник Зорича — возьмите Г. М. Фихтенгольца (трёхтомник "Курс дифференциального и интегрального исчисления").

[ewert]

Someone в сообщении #1159128 писал(а):

но обычно приводят её.

К сожалению, обычно. Хотя к чему тут вообще упоминать первые производные -- в этой формулировке, когда упоминаются обе смешанных?

Someone в сообщении #1159128 писал(а):

Теорему для смешанных производных более высокого порядка посмотрите в учебнике.

У Кудрявцева, например, это не теорема, а просто следствие. И тут он глубоко прав, в отличие от Фихтенгольца. Неправ он в другом -- что умудрился довести вполне прозрачное доказательство Фихтенгольцем основной теоремы (по две переменные) до некоторой невнятности.