Механизм электромагнитного излучения ускоренными зарядами

[wrest]

Munin в сообщении #1156821 писал(а):

$I=\dfrac{2e^2w^2}{3c^3},$ где $e$ - заряд, а $w$ - ускорение. Проинтегрировать за период.

Ок. В вышеуказанной формуле принимаем $a^2=w^2$, т.к. буква $w$ нам понадобится для обозначения частоты, переписываем формулу в виде
$I(t)=\dfrac{2e^2a^2(t)}{3c^3},$ где $e$ - заряд, а $a$ - ускорение.
Пусть заряд движется вдоль оси $x$ по гармоническому закону.
Положение (координата) заряда определяется как $x(t)=\sin t$
Для определенности, пусть амплитуда колебаний составляет $A$ метров, а целый период колебания происходит за $T$ секунд, а в нулевой момент времени пусть заряд проходит через начало координат.
Тогда уравнение движения заряда принимает вид
$x(t)=A\cdot \sin (t \frac{2\pi}{T})$
Как обычно, обозначим $w=\frac{2\pi}{T}$ частоту колебаний в Герцах и перепишем уравнение движения в виде
$x(t)=A\cdot \sin (wt)$
Скорость находим как производную от положения по времени $v(t)=A\cdot\ w\cdot \cos(wt)$ а ускорение как производную от скорости по времени,
$a(t)=-A\cdot w\cdot w \cdot \sin (wt)$
Возводим ускорение в квадрат (т.к. излучение у нас зависит от квадрата ускорения), получаем
$a^2(t)=A^2w^4\sin ^2 (wt)$
И подставляем в форумлу излучения, получаем
$I(t)=\dfrac{2e^2A^2w^4\sin ^2 (wt)}{3c^3}$
Теперь интегрируем $I(t)$ по времени за период, т.е. от момента времени $t=t_0$ до $t=t_0+T$
Записываем интеграл
$\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\dfrac{2e^2A^2w^4\sin ^2 (wt)}{3c^3}dt$
Все константы выносим за знак интеграла
$\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\dfrac{2e^2A^2w^4\sin ^2 (wt)}{3c^3}dt=$\dfrac{2e^2A^2w^4}{3c^3}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\sin ^2 (wt)dt$
Интеграл от квадрата синуса берем как обычно, через косинус.
Сначала записываем
$\sin^2wt=\dfrac{1-\cos2wt}{2}$ и тогда
$\int \sin ^2(wt)dt=\int \dfrac{1-\cos(2wt)}{2}dt$
$=\dfrac{1}{2}\int 1\cdot dt - \dfrac{1}{2}\int \cos(2wt)dt=\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2\cdot2w}\sin(2wt)+C$

Если позволите, проводить выкладки которые показывают что от $t_0$ ничего не зависит, не будем и сразу положим $t_0=0$ и тогда переписываем наш интеграл как
$\dfrac{2e^2A^2w^4}{3c^3}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\sin ^2 (wt)dt=\dfrac{2e^2A^2w^4}{3c^3}\int\limits_{0}^{T}\sin ^2 (wt)dt=\dfrac{2e^2A^2w^4}{3c^3}\biggl(\dfrac{T}{2}-\dfrac{1}{2\cdot2w}\sin(2wT)\biggr)
теперь поскольку $w=\frac{2\pi}{T}$ то $wT=2\pi$ и синус в скобках зануляется, остается
$\int\limits_{0}^{T} I(t)dt=\dfrac{e^2A^2w^32\pi}{3c^3}$ - количество "улетающих" джоулей за один период колебаний,
где $w$ частота колебаний в Герцах, $A$ - амплитуда колебаний в метрах, $e$ - величина заряда в единицах формулы ЛЛ (надеюсь что в Кулонах), $c$ тоже в единицах формулы ЛЛ (надеюсь что в метрах в секунду).

Как-то так...
Подставляем
$e=1$ Кл
$A=1$ метр
$w=1$ Гц
$c=3\cdot10^8$ м/с

получаем ответ
$\dfrac{2\pi}{3\cdot3^3\cdot10^{24}}$ Дж ~ $~2.3\cdot10^{-25}$ Дж

по размерностям надо еще проверить.

[svv]

wrest в сообщении #1157287 писал(а):

$e$ - величина заряда в единицах формулы ЛЛ (надеюсь что в Кулонах)
...
$e=1$ Кл

[wrest]

svv
Ну так я же спрашивал -- "Заряд в один Кулон движется по гармоническому закону (на пружине, например) вдоль отрезка длиной один метр с частотой один Герц", на что мне дали формулу мгновенной мощности излучения в зависимости от времени из ЛЛ как раз для этого, как я понял, и попросили проинтегрировать. Ну там у меня правда 2 метра в итоге получилось (метр амплитуды, размах соответственно два). Может для СИ надо еще коэффициенты какие-то в формулу ЛЛ?

[svv]

А, если так дано, ладно.
Но Вы же представляете, какой огромный это заряд — 1 Кл?

[wrest]

svv в сообщении #1157407 писал(а):

Но Вы же представляете, какой огромный это заряд — 1 Кл?

Да, примерно такой заряд протекает по электронике среднего смартфона примерно за одну секунду использования (ну, по порядку величины).
Я понимаю, что натереть эбонитовую палочку шерстяной тряпочкой до заряда в один Кулон никак не выйдет.

[svv]

Да, я к тому, что 1 кулон — не про заряженный шарик на пружинке.

[Munin]

wrest в сообщении #1157287 писал(а):

буква $w$ нам понадобится для обозначения частоты

Для обозначения частоты используется буква $\omega.$

wrest в сообщении #1157287 писал(а):

величина заряда в единицах формулы ЛЛ (надеюсь что в Кулонах)

Вообще говоря, все выкладки в ЛЛ-2 - в системе СГС. Она общепринята в теоретической физике. Но в данной формуле, если не возникает размерных коэффициентов, то можно пользоваться системой СИ.

Ан нет, размерные коэффициенты возникают! Надо поделить на $4\pi\varepsilon_0,$ потому что справа квадрат заряда, а слева - чисто механическая (в смысле, выражающаяся через $\mathrm{LMT}$) величина.

В остальном - я радуюсь, проинтегрировали вы верно.

[wrest]

В общих чертах, у Фейнмана про излучение есть в двух местах.

Сперва идут рассуждения о запаздывающих потенциалах, о поле в дальней зоне, в общем примерно как и везде.

А вот когда дело доходит до ускоренных зарядов, начинается самое интересное.
Фейнман интригует тем что сейчас покажет проблемы в уравнениях Максвелла. Проблемой оказывается бесконечная энергия в случае точечного (нулевого размера) заряда.
Ну ладно, там рассуждения про электромагнитную массу и все такое. Принимаем все-таки электрон не точечным а "классического радиуса".

И вот, доходит дело до ускоренного движения.

И тут начинается рассуждение о том, что коль скоро электрон не точечный, то при ускоренном движении он тормозит сам себя "за шиворот", и это называется радиационным трением.

Попытки вывести формулу оканчиваются тем, что "классическая теория электрона сама себя завела в тупик".

Дальше история про Борна и Инфельда (уравнения Максвелла становятся нелинейными).

Затем про Дирака (хитрый трюк с опережающими потенциалами), где Фейнман пишет "электромагнитная масса исчезла, классическая теория спасена, но благополучие это достигнуто ценой насилия над самодействием электрона".

Потом про самого Фейнмана и Уилера "Когда электрон ускоряется в момент $t$, то он влияет на все другие заряды в мире в поздний момент $t'=t+r/c$ (где $r$ -- расстояние до других зарядов) из-за запаздывающих волн. Но затем эти другие действуют снова на первоначальный электрон с помощью опережающих волн, которые приходят к нему в момент $t''$, равный $t'$ минус $r/c$, что как раз равно $t$" [...] "Вот в какой петле запутались физики, пытаясь спасти теорию электрона!"

Дальше как детектив. Описывается теория Боппа, которая отходит от локальности.

Но все теории неквантовые.

"Однако, и в квантовой электродинамике трудности не исчезают. В этом кроется одна из причин, почему люди потратили столько времени, пытаясь преодолеть классические трудности и надеясь, что если они смогут преодолеть их, то после квантового обобщения уравнений Максвелла все будет в порядке. Однако и после такого обобщения трудности не исчезают"

"... до сего дня нам неизвестно решение этой проблемы. Мы не знаем, как с учетом квантовой механики построить самосогласованную теорию, которая не давала бы бесконечной собственной энергии электрона или какого-то другого точечного заряда. И в то же время нет удовлетворительной теории, которая бы описывала неточечный заряд. Так эта проблема и осталась нерешенной".

Такие дела. Начал Фейнаман с объяснения радиационного трения, а закончил "мы так и не знаем решение проблемы"
... шел 1965 год.

Фейнман, кстати, хотя бы честен с читателями. Там где ловкость рук и манипуляции, он так и говорит -- тут трюк. Там где есть проблема -- он говорит что она есть, и что она не решена. Молодец!

[warlock66613]

wrest, не путайте теорию электрона и излучение ускоренного заряда. Они не зря у Фейнмана изложены в двух местах.

[wrest]

warlock66613 в сообщении #1158997 писал(а):

не путайте теорию электрона и излучение ускоренного заряда. Они не зря у Фейнмана изложены в двух местах.

Вообще-то в одном. Параграф 4 "С какой силой электрон действует сам на себя?" заканчивается тем что "электромагнитная масса" не устраняется так, чтобы получить нужное уравнение, которое выше приводил Munin из ЛЛ и которое попросил проинтегрировать (мощность излучения в зависимости от величины заряда и его ускорения), а параграф 5 "Попытки изменения теории Максвелла" приходит к выводу "Так эта проблема и осталась нерешенной".

В том что читаю я (ФЛФ-6 Глава 28, параграфы 4 и 5), это страницы 308-321. И это как раз именно попытка объяснить механизм излучения ускоренного заряда.

[warlock66613]

wrest в сообщении #1159005 писал(а):

Вообще-то в одном.

wrest в сообщении #1158992 писал(а):

В общих чертах, у Фейнмана про излучение есть в двух местах.

[wrest]

warlock66613
Ну не надо придираться. В первом месте это не называется "излучение", там просто рассматриваются поля вдалеке от диполя (как и все, Фейнман рассматривает диполь), вот линии нагибаются, почти перпендикулярятся, получается поперечное поле, оно бежит вперед и т.д., в общем то что наглядно описано в этой теме тов. Cos(x-pi/2) сообщении #1149913 и является понятным общим местом таких описаний.
А, еще у Фейнмана оригинально конечно, помимо диполя, есть описание как движется заряженная плоскость, потом останавливается, а изменение поля продолжает распространяться и т.п.
В этих описаниях, между прочим, обычно ничего не пишут про ускоренное движение заряда. А просто -- вот поля движущихся зарядов, вот потенциалы запаздывают, вот электрон (ну или заряд, или заряженная плоскость) резко затормозил, а поле побежало и т.д. и т.п.

[warlock66613]

wrest, я не придираюсь, я просто не вижу как ваш вопрос касается трудностей с самодействием.

wrest в сообщении #1159012 писал(а):

вот поля движущихся зарядов, вот потенциалы запаздывают, вот электрон (ну или заряд, или заряженная плоскость) резко затормозил, а поле побежало и т.д. и т.п.

А что вам ещё надо?

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1159017 писал(а):

wrest, я не придираюсь, я просто не вижу как ваш вопрос касается трудностей с самодействием.

А никак. Он просто прочитал, что "у физики есть проблемы", и перевозбудился. А что они по другому поводу - ему не хватает уровня выяснить.

[UR4III]

wrest в сообщении #1159012 писал(а):

В первом месте это не называется "излучение", там просто рассматриваются поля вдалеке от диполя (как и все, Фейнман рассматривает диполь), вот линии нагибаются, почти перпендикулярятся, получается поперечное поле, оно бежит вперед и т.д., в общем то что наглядно описано в этой теме тов. Cos(x-pi/2) сообщении #1149913
и является понятным общим местом таких описаний.

Если рассматриваются антенны, то ничего более и не нужно. Источник эдс тратит энергию только на ускоренное перемещение электрона. Сам электрон не излучает энергию. Нет излучения. Есть возмущение эл.поля, вызванное его ускоренным движением. Это возмущение и есть энергия ЭМВ, полученная от источника эдс.