Линейный, непрерывный функционал, норма

[prosto314]

Здравствуйте! Необходимо доказать, что функционал линейный непрерывный, необходимо найти его норму (в пространстве $C[-1,1]$).
$<x,f>=\int\limits_{-1}^{1}x(t)dt-\dfrac{1}{2n-1}\sum\limits_{k=-n}^{n}x(\dfrac{k}{n})$.
Я доказал, что функционал линеен. Линейный функционал будет непрерывным тогда и только тогда, когда он ограничен, поэтому я доказываю ограниченность.
$||<x,f>||=|\int\limits_{-1}^{1}x(t)dt-\dfrac{1}{2n-1}\sum\limits_{k=-n}^{n}x(\dfrac{k}{n})|\leq |\int\limits_{-1}^{1}x(t)dt|+|\dfrac{1}{2n-1}\sum\limits_{k=-n}^{n}x(\dfrac{k}{n})|$.
Для первого слагаемого я доказал, что $|\int\limits_{-1}^{1}x(t)dt|\leq2||x||$. А вот для второго слагаемого возникли трудности... Я сделал замену: $k=an$
$|\dfrac{1}{2n-1}\sum\limits_{a=-1}^{n}x(a)|\leq \dfrac{1}{2n-1}\sum\limits_{a=-1}^{n}|x(a)|= \dfrac{1}{2n-1}||x||$.

По сути я доказал, что $||<x,f>||\leq 2+\dfrac{1}{2n-1}$. А потом еще надо последовательность подобрать, чтобы $||<x,f>||= 2+\dfrac{1}{2n-1}$.
А в ответе $||<x,f>||=3+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2}{2k+1}$.
Так вот, где я ошибся, что не так сделал? Есть предположения, какую функцию мне подобрать надо, чтобы доказать, что $||<x,f>||= 2+\dfrac{1}{2n-1}$?

[Otta]

Ну $a$ ведь разное для разных $k$, негоже его считать постоянным и обозначать одной буквой.

[DeBill]

prosto314
Что за ужасную замену Вы сделали???
Если у Вас проблемы со знаками суммы (а у Вас - проблемы), не делайте в общем случае, делайте для конкретных значений $n$, например, для $n=2$ (будет в сумме ровно 5 слагаемых). И посмотрите, как реально выглядят теперь Ваши выкладки.
Ваш ответ - неверный, потому подобрать посл-ть - не получится.
Однако и другой ответ - тоже неправильный (даже если предположить, что Вы просто забыли упомянуть, что норма икса не больше 1).
По поводу подбора: не пытайтесь угадать подходящую функцию в виде "формулы". Попробуйте просто нарисовать такой график, чтобы ВСЕ Ваши оценки стали равенствами (или почти равенствами).

(Оффтоп)

Для $n=2$ правильный ответ: норма оператора равна $\frac{11}{3}$

[ewert]

DeBill в сообщении #1158490 писал(а):

Однако и другой ответ - тоже неправильный

Тот ответ тривиально неверен. Тупо потому, что та норма расходится при $n\to\infty$, в то время как норма функционала тривиально ограничена той самой двойкой плюс единичкой с эпсилоном.