Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

[Laktor]

помогитие найти площадь фигуры, описанной линиями

$(x^3+y^3)^2=x^2+y^2$

$x \geq 0$

$y \geq 0$

[Henrylee]

Перейдите в полярные координаты

[Laktor]

у меня получается
\rho^2=\frac {1} {cos^3\varphi+sin^3\varphi}

А вот как взять этот интеграл в пределах от 0 до пи/2 не знаю

[Henrylee]

Смотрите раздел интегралы от тригонометрических функций, например в задачнике Демидовича.

[Brukvalub]

Введите новую переменную

\[ t = tg\varphi \]

[GAA]

В данном случае ни одна из «полууниверсальных» подстановок не приводит к интегралу от рациональной функции. При помощи подстановки $t=\tan\phi$ приходим к интегралу от квадратичной иррациональности, который при помощи второй подстановки Эйлера приводится к тому же виду, что и получающийся при помощи универсальной замены, а при помощи первой подстановки Эйлера — к интегралу практически ему эквивалентному.
Интегрирование при помощи универсальной подстановки громоздко, но выполнимо — уравнение шестой степени оказывается неполным кососимметрическим, а потому легко решаемым (вспомогательное кубическое просто замечательное: $z^3=2$!).

[Brukvalub]

Смею заметить, что эта задача носит гордый номер 3988 в задачнике Демидовича, я каждый год решаю ее на мех-матовском семинаре или задаю на дом, и, до сегодняшнего дня, особой трудности в ней не отмечал Вот так самое интересное и проходит в нашей жизни мимо!
Если уж говорить о самом рациональном способе вычисления этого интеграла, то мне он кажется таким:

\[ \int {\frac{{dx}}{{\sin ^3 x + \cos ^3 x}}} = \frac{1}{3}\int {\frac{{(\sin x + \cos x)^2 - 2(1 - \sin x\cos x)}}{{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x\cos x)}}} dx = \frac{2}{3}(\int {\frac{{dx}}{{(\sin x + \cos x)}}} + \int {\frac{{d(\sin x - \cos x)}}{{1 + (\sin x - \cos x)^2 }}} dx) = ... \]

(было жутко лень набирать, но я преодолел себя...)

[GAA]

Стало очень любопытно, откуда берется рекомендация замены $t=\tan x$, ведь четности по совокупности переменных*) в $1/(\sin^3 x + \cos^3 x)$ не наблюдается. Подумал: может это пример, когда комбинация «полууниверсальной» замена и подстановки для квадратичной иррациональности либо гиперболической замены приводит к интегралу, вычисляемому проще, чем в результате универсальной замены. Теперь понятно — не тот случай.
-------------------------
*) $R(-\sin{x}, -\cos{x}) = R(\sin{x}, \cos{x}))$