Какую мощность можно получить, тряся магнит в катушке?

[Atom001]

Есть соленоид, намотанный на тонкую твёрдую оболочку. Внутри оболочки находится мощный неодимовый магнит. Выводы соленоида соединяются с элементами, образующими нижеприведённую схему. Соленоид трясут по оси вдоль его длины. Магнит внутри оболочки приходит в движение и летает вдоль соленоида хаотически, наводя в катушке ЭДС.
В результате получается источник постоянного тока, преобразующий "энергию тряски" в электрический постоянный ток.
Помогите прикинуть, какой будет мощность преобразователя, представляющего собой катушку, если есть ряд условий?
Условия:
Диаметр соленоида около 20 мм, длина - 200 м, материал проводника - медь. Проволока намотана плотно виток к витку. Диаметр проволоки положить равным 1 мм.
Магнит можно считать кубиком с длиной грани 5 мм. Остаточная индукция порядка 1 Тл, коэрцитивную силу (и по индукции, и по намагниченности) считать равной примерно 800 кА/м, материал магнита - NdFeB.

Я думаю, что нужно сначала рассмотреть простой случай, когда есть магнит и всего один виток соленоида. Если магнит летит равномерно по оси витка из бесконечности и останавливается в центре. Нужно найти ЭДС, которая наводится в данном случае в витке. Однако, я ничего не смог найти по вопросу наведения ЭДС в катушке при движении постоянного магнита. По закону ЭМ индукции, чтобы рассчитать ЭДС, нужно найти изменение потока, а, следовательно, изменение индукции. Но я не знаю как его определить для постоянного магнита.
Может быть можно мысленно заменить магнит достаточно малым витком с током, в центре которого находится данный магнит. Тогда по закону Био-Савара-Лапласа можно определить ток в этом витке. И теперь уже рассматривать не движение магнита, а движение витка с током, который намного меньше основного витка. Потому что для витка с током уже можно определить, как будет меняться поток поля этого витка через основной виток при движении первого. Вопрос в том, можно ли сделать такую замену?

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Карантин»
Причина переноса:
Требуется уточнение:
1.Что понимается под тряской магнита?
2. Какие характеристики имеет магнит?

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

Начальные сообщения любой темы должны четко и внятно формулировать предмет или вопрос, который предполагается обсудить. В противном случае тема будет закрыта или перемещена в карантин до уточнения предмета.

Оформите тему в соответствии с правилами форума и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено. Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Механика и Техника»
Причина переноса: вернул.

[Mihaylo]

Размышление от обратного: если мощность такого генератора равна нулю, то магнит будет болтаться свободно без каких-либо сил сопротивления. Чтобы генератор начал генерить ток, нужно чтобы на магнит воздействовала тормозящая сила. Только в случае противодействия силы генератор будет работать, а в случае содействия энергия снова превращается в механическую, это плохо. Нужно рассмотреть все фазы движения соленоида и оценить силу, действующую на магнит, и ее направленность.

[AnatolyBa]

Atom001 в сообщении #1157998 писал(а):

Может быть можно мысленно заменить магнит достаточно малым витком с током, в центре которого находится данный магнит.

Лучше представьте магнит как магнито-диполь. Силу можно оценить из того, что (как следует из ваших данных) на расстоянии порядка 2.5 мм индукция будет порядка 1 Тл. Отсюда вы сможете оценивать поле магнита. Но вот дальше - все сложно

[Xey]

В китайских фонариках с подзарядкой за счёт тряски катушки входят одна в другую.
Я не стал покупать. Наверно такой генератор , без железного магнитопровода с минимальным воздушным зазором , мало эффективен.

[Atom001]

Вот к чему я пришёл, представив магнит в виде витка с током.
1) Для витка с током справедлива формула, полученная из закона Био-Савара-Лапласа:

$$B(x)=\frac{\mu_0}{2}\frac{R^2I}{\sqrt{(R^2+x^2)^3}}$$

2) Поместим виток так, чтобы центры магнита и витка совпали, а сам виток был параллелен главному витку (главный виток - упрощённая модель исходного соленоида).
3) Тогда по формуле из п.1 для $x=0$ и $B(0)=B_{magnit}=1 T$, найдём ток, текущий по витку:

$$I=\frac{2B(0)R}{\mu_0}$$

Пусть виток вплотную прилегает к магниту (т.е. в сечении получится квадрат, вписанный в окружность), тогда $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a=3.54 \cdot 10^{-3} m$
Тогда ток равен $I=5.63\cdot 10^3 A$
4) Пусть теперь расстояние между центрами витков равно $L_0$, тогда вдоль главной оси, соединяющей эти центры индукция в зависимости от расстояния будет равна ($C_1, C_2$ - константы)

$$B(L)=\frac{C_1}{\sqrt{(C_2+L_0^2)^3}}$$

5) Пусть виток (магнит) двигается равномерно и прямолинейно со скоростью $v$, тогда

$$B(L)=\frac{C_1}{\sqrt{(C_2+(L_0-vt)^2)^3}}$$

6) Ещё одно допущение - Витки (виток-магнит и главный виток-соленоид) примерно одинаковы по размерам. Тогда можно считать что поле, пронизывающее главный виток - однородно.
7) По закону ЭМИ Фарадея ($S$ - площадь главного витка)

$$E_i=-\frac{d\Phi(L)}{dt}=-S\frac{dB(L)}{dt}$$

8) Найдём производную:

$$\frac{dB(L)}{dt}=\frac{3C_1v(L_0-vt)}{(C_2+(L_0-vt)^2)^{5/2}}$$

9) Найдём ЭДС при движении магнита от расстояния $L_0$ до центра главного витка, приняв $L_0=200 mm, v=100 mm/s$

$$E_i=2.62 nV$$

В условии соленоид содержит порядка 200 витков. В принципе можно взять скорость побольше, ведь планируется трясти магнит (правда, я не знаю как оценить среднюю скорость хаотической тряски). Расстояние $L_0=200 mm$ принята так потому, что длина всего соленоида из условия такова. Т.е. рассчитанная ЭДС будет наводится только в самом последнем (дальнем) витке, а во всех более близких витках ЭДС наводится будет меньшая. Ещё можно уменьшить толщину проволоки и сделать много слоёв соленоидов. Но ведь даже это не приведёт хотя бы к 1 В.

Mihaylo в сообщении #1158191 писал(а):

Чтобы генератор начал генерить ток, нужно чтобы на магнит воздействовала тормозящая сила.

А чтобы оценить силу, нужно ведь оценить сначала ЭДС, наводимую в соленоиде. Круг замыкается.

AnatolyBa в сообщении #1158252 писал(а):

на расстоянии порядка 2.5 мм индукция будет порядка 1 Тл

Простите, а откуда это следует. Это какой-то закон?

Xey в сообщении #1158277 писал(а):

Наверно такой генератор , без железного магнитопровода с минимальным воздушным зазором , мало эффективен.

Возможно так. Однако есть свидетельства того, что некоторые самоделы умудрялись даже подзаряжать мобильник. Разумеется, речь идёт лишь о зарядке на пару процентов, позволяющих сделать, скажем, один важный звонок.

[Dmitriy40]

У меня при очень грубой прикидке (цилиндрический магнит диаметром $20\text{мм}$ толщиной $5\text{мм}$, скорость пролёта витка $100\text{мм}/\text{с}$, диаметр витка $20\text{мм}$, толщина провода нулевая, индукция магнита $1\text{Тл}$) получается максимальная ЭДС порядка $10\text{мВ}$. При уменьшении магнита вчетверо и урезании до квадрата в сечении ЭДС упадёт раз в 6-7, до полутора мВ. Но никак не нВ.

[Xey]

Скорость тряски найдётся из частоты и амплитуды синусоиды. Частота не больше 10 герц, амплитуда 100 мм.

[AnatolyBa]

Atom001 в сообщении #1158316 писал(а):

Простите, а откуда это следует. Это какой-то закон?

Нет, это из того, что вы написали - магнит кубик с длиной ребра 5 мм и остаточная инфукция 1 Тл.
Но это неважно - пользуйтесь вашей моделью с витком тока.
Мне кажется поступательное движение не очень эффективно, а вот если магнит будет кувыркаться - один поворот на 180 градусов и поток меняется на противоположный

[Atom001]

Dmitriy40 в сообщении #1158346 писал(а):

получается максимальная ЭДС порядка $10\text{мВ}$.

Я положил, что поле, пронизывающее виток, является однородным. Поэтому под подозрение сразу же попало именно это допущение. Однако, ведь при однородном поле достигается максимальная ЭДС. Поэтому реальная ЭДС должна была бы быть ещё меньше, чем та, что получилась у меня. Поэтому теперь я затруднён...

Dmitriy40 в сообщении #1158346 писал(а):

У меня при очень грубой прикидке

Не могли бы Вы тезисно описать методику Вашей прикидки?

Xey в сообщении #1158347 писал(а):

Скорость тряски найдётся из частоты и амплитуды синусоиды. Частота не больше 10 герц, амплитуда 100 мм.

$$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{A}{T/4}=4Af=4\cdot 0.1\cdot 10=4 m/s$$

Хорошо, теперь я знаю среднюю скорость тряски в лучшем случае - в случае гармонических колебаний. Правда я при оценке принял скорость равную 0,1 м/с. Так что мою ЭДС теперь можно повысить на порядок. Однако всё-равно маловато будет.

AnatolyBa в сообщении #1158352 писал(а):

Мне кажется поступательное движение не очень эффективно

Согласен. Но я просто хотел с чего-нибудь начать, а поступательное движение - самое простое.
Но даже в этом простом случае, я, похоже, ошибаюсь...

AnatolyBa в сообщении #1158352 писал(а):

а вот если магнит будет кувыркаться - один поворот на 180 градусов и поток меняется на противоположный

А вот об этом я даже и не подумал. Я ещё на начальном этапе обмысливания генератора пришёл к выводу, что в катушке будет наводиться ЭДС переменного знака. Чтобы не допустить нулевой КПД, я поставил после катушки диодный мостик. После этого я успокоился и забыл думать о смене знака ЭДС.
Думаю, что здесь ничего другого не остаётся, как запретить магниту менять ориентацию. Для кубика это сделать трудно. Поэтому, наверное, стоит заменить кубик цилиндриком, который в узкой трубке не сможет переворачиваться.

[AnatolyBa]

Atom001 в сообщении #1158383 писал(а):

Думаю, что здесь ничего другого не остаётся, как запретить магниту менять ориентацию

Да нет же, это как раз хорошо (для вас) если поток будет все время быстро меняться, колебаться случайным образом между $\Phi_{\max}$ и $-\Phi_{\max}$

[Atom001]

AnatolyBa в сообщении #1158397 писал(а):

Да нет же, это как раз хорошо (для вас)

Почему?
Вот магнит полетел в катушке, начала возникать ЭДС. Затем магнит резко переворачивается на 180 градусов. Теперь наводится ЭДС противоположного знака, а ток-то ведь по катушке всё ещё идёт тот, что был создан первой ЭДС. Значит сначала произойдёт выравнивание тока до нуля, а уже потом его нарастание в "отрицательном" направлении.

[AnatolyBa]

Atom001 в сообщении #1158402 писал(а):

Теперь наводится ЭДС противоположного знака, а ток-то ведь по катушке всё ещё идёт тот, что был создан первой ЭДС

Это если предположить, что индуктивность здесь играет серьезную роль. Не думаю, что это так. Всякие механические движения здесь где-то в герцевом диапазоне, не выше. Индуктивность где-то на уровне миллигенри (длина соленоида, полагаю, 200 миллиметров, не метров).
Так что для вас важны значения самой ЭДС - пиковые, средние по модулю, а не ее частотные характеристики.
Тот пик ЭДС, который "навелся" во время переворота очень для вас выгоден

[Dmitriy40]

Atom001 в сообщении #1158383 писал(а):

Не могли бы Вы тезисно описать методику Вашей прикидки?

Числовые данные в предыдущем сообщении, затык там только с потоком магнитной индукции. Я взял для упрощения что в момент пересечения витка торцом магнита поток максимален и равен полной индукции магнита (1Тл на площадь витка), а при сдвиге магнита на половину толщины, до положения витка над центром магнита - равен нулю (и то и другое - допущения), т.е. $\Delta\Phi = BS$. Дальше просто.
Что-то всё меньше уверен в адекватности допущений.