Найти подгруппы Ли в группе Ли

[Hasek]

Задача: Описать все (не обязательно связные) подгруппы Ли в группах Ли $\mathbb{R}$, $S^1$, $S^1 \times S^1$.

По определению $G'$ есть подгруппа Ли группы Ли $G$ если она одновременно и подгруппа, и подмногообразие. Но мне не совсем понятно, как проверять это в конкретных случаях, особенно если на пространстве нет очевидной групповой структуры (вроде окружности или тора). Про группу Ли некоторого топологического пространства я должен думать как про группу его диффеоморфизмов, да?

[CptPwnage]

Нет, тут все эти пространства естественным образом являются группами Ли.
$\mathbb{R}$ - очевидно.

$$S^1 = {e^{ix}, e^{ix} e^{iy} = e^{i(x+y)}}$$

$$S^1 \times S^1 = {(e^{ix},e^{iy})}$$

с аналогичным покоординатным умножением.

[Hasek]

Хорошо, давайте разбираться дальше.

Вот, в $\mathbb{R}$ я могу предложить следующие подгруппы (по умножению):

• положительные вещественные числа
• все рациональные числа
• положительные рациональные числа
• ${\pm1}$

Это все подгруппы Ли в $\mathbb{R}$?

В окружности $e^{ix}$, например, можно выделить $e^{ik}, ~k \in \mathbb{Q}$. Я вообще правильно рассуждаю?

[Xaositect]

Hasek в сообщении #1157610 писал(а):

Вот, в $\mathbb{R}$ я могу предложить следующие подгруппы (по умножению)

А является ли $\mathbb{R}$ группой по умножению? Имелось в виду другое.

Hasek в сообщении #1157610 писал(а):

В окружности $e^{ix}$, например, можно выделить $e^{ik}, ~k \in \mathbb{Q}$.

Можно. Но будет ли это подгруппой Ли?

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Я тоже курс Рыбникова пытаюсь по удалёнке пройти. ^^