2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти подгруппы Ли в группе Ли
Сообщение05.10.2016, 20:00 
Аватара пользователя
Задача: Описать все (не обязательно связные) подгруппы Ли в группах Ли $\mathbb{R}$, $S^1$, $S^1 \times S^1$.

По определению $G'$ есть подгруппа Ли группы Ли $G$ если она одновременно и подгруппа, и подмногообразие. Но мне не совсем понятно, как проверять это в конкретных случаях, особенно если на пространстве нет очевидной групповой структуры (вроде окружности или тора). Про группу Ли некоторого топологического пространства я должен думать как про группу его диффеоморфизмов, да?

 
 
 
 Re: Найти подгруппы Ли в группе Ли
Сообщение05.10.2016, 20:46 
Нет, тут все эти пространства естественным образом являются группами Ли.
$\mathbb{R}$ - очевидно. $$S^1 = {e^{ix}, e^{ix} e^{iy} = e^{i(x+y)}}$$ $$S^1 \times S^1 = {(e^{ix},e^{iy})}$$ с аналогичным покоординатным умножением.

 
 
 
 Re: Найти подгруппы Ли в группе Ли
Сообщение05.10.2016, 21:45 
Аватара пользователя
Хорошо, давайте разбираться дальше.

Вот, в $\mathbb{R}$ я могу предложить следующие подгруппы (по умножению):
  • положительные вещественные числа
  • все рациональные числа
  • положительные рациональные числа
  • ${\pm1}$
Это все подгруппы Ли в $\mathbb{R}$?

В окружности $e^{ix}$, например, можно выделить $e^{ik}, ~k \in \mathbb{Q}$. Я вообще правильно рассуждаю?

 
 
 
 Re: Найти подгруппы Ли в группе Ли
Сообщение05.10.2016, 21:57 
Аватара пользователя
Hasek в сообщении #1157610 писал(а):
Вот, в $\mathbb{R}$ я могу предложить следующие подгруппы (по умножению)
А является ли $\mathbb{R}$ группой по умножению? Имелось в виду другое.

Hasek в сообщении #1157610 писал(а):
В окружности $e^{ix}$, например, можно выделить $e^{ik}, ~k \in \mathbb{Q}$.
Можно. Но будет ли это подгруппой Ли?

 
 
 
 Re: Найти подгруппы Ли в группе Ли
Сообщение06.10.2016, 12:22 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Я тоже курс Рыбникова пытаюсь по удалёнке пройти. ^^

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group