2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 12:36 
Аватара пользователя


04/10/16
7
Доброго времени суток!

Столкнулся с трудностями при решении предела $$\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{2^n}{n!}}$$ Из мыслей только числитель представить в виде (1+1)^n, но это решению не очень помогает...

Заранее спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 13:02 


20/03/14
12041
cactus09
Доллары расставляйте по краям формул.

Зорич есть? Там почитайте, там есть среди примеров. Да, наверное, всяко почти везде есть, но в Зориче есть точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
$n! > 2 \cdot 3^{(n-2)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 13:58 
Аватара пользователя


26/05/12
1701
приходит весна?
Известный факт же, что факториал растёт быстрее всякой экспоненциальной функции, а всякая экспоненциальная быстрее любой степенной. Для решения вашей задачи разбейте факториал и степень на множители и скомбинируйте их как отношение пар. Сразу станет видно, что каждый новый множитель (после определённого номера $n$) меньше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 14:24 


25/08/11

1074
Можно через ряд и признак Деламбера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 14:26 


20/03/14
12041
:mrgreen: Пощадите человека, это же первый курс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
B@R5uk в сообщении #1157160 писал(а):
Сразу станет видно, что каждый новый множитель (после определённого номера $n$) меньше единицы.

Этого может оказаться недостаточно. Это говорит только о том, что дробь с ростом $n$ убывает. Но вот к чему?
Тут нужна более аккуратная оценка, например, полученная с помощью
kp9r4d в сообщении #1157145 писал(а):
$n! > 2 \cdot 3^{(n-2)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 16:09 


25/08/11

1074
Хорошо, первый курс. Общий член этой последовательности убывает со второго члена и ограничен снизу нулём.
Предел подпоследовательности, который обозначим x, равен пределу последовательности.
Отсюда $x=\lim (\frac{2x}{n})$, поэтому предел есть ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10031
Москва
По-моему, ещё проще
$\frac {2^n}{n!}=\frac 2 1 \frac 2 2 \frac 2 3 \frac 2 4 \cdots \frac 2 n$
и видно, что, начиная с четвёртого, все множители меньше $\frac 1 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 16:23 
Аватара пользователя


07/01/15
1237
provincialka, вроде достаточно. При $0 < q < 1$ получаем:$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$
где $C$ - константа. Последнее показывается через бином Ньютона $=$ неравенство Бернулли.

-- 04.10.2016, 17:27 --

Евгений Машеров подробно расписал. ТС осталось скомпилировать и слинковать все сказанное уважаемыми форумчанами.
P. S. Надеюсь, у него не получится мешанина вроде машинного кода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9253
Цюрих
SomePupil в сообщении #1157207 писал(а):
вроде достаточно. При $0 < q < 1$ получаем:$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$
где $C$ - константа.

Это не то же самое, что
B@R5uk в сообщении #1157160 писал(а):
каждый новый множитель (после определённого номера $n$) меньше единицы

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 17:01 


03/03/12
1380
SomePupil в сообщении #1157207 писал(а):
При $0 < q < 1$ получаем:$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$
где $C$ - константа. Последнее показывается через бином Ньютона $=$ неравенство Бернулли.

Такое неравенство можно доказать с помощью неравенства Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 17:02 
Аватара пользователя


07/01/15
1237
mihaild, $\frac {2^n}{n!}=\frac 2 1 \frac 2 2 \frac 2 3 \frac 2 4 \cdots \frac 2 n < \frac 2 3 \cdot(\frac 1 2)^{n-4} = \frac {32} 3 \cdot (\frac 1 2)^n$

Теперь уже видно?

-- 04.10.2016, 18:08 --

mihaild, ааа, я Вас понял. Но все равно думаю, что B@R5uk имел ввиду именно это. Просто неаккуратно выразился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Ну.. в математике надо выражаться аккуратно! Тут используется не то, что каждый сомножитель меньше 1, а то, что он "отделен" от нее. То есть меньше некоторой границы, которая сама строго меньше 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 2^n/n!
Сообщение04.10.2016, 18:08 


03/03/12
1380
TR63 в сообщении #1157228 писал(а):
SomePupil в сообщении #1157207

писал(а):
При $0 < q < 1$ получаем:$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$
где $C$ - константа. Последнее показывается через бином Ньютона $=$ неравенство Бернулли.

TR63 в сообщении #1157228 писал(а):
Такое неравенство можно доказать с помощью неравенства Коши.


Была опечатка. Надо: такой предел можно доказать с помощью неравенства Коши.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group