Предел 2^n/n!

[cactus09]

Доброго времени суток!

Столкнулся с трудностями при решении предела

$$\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{2^n}{n!}}$$

Из мыслей только числитель представить в виде (1+1)^n, но это решению не очень помогает...

Заранее спасибо за помощь

[Lia]

cactus09
Доллары расставляйте по краям формул.

Зорич есть? Там почитайте, там есть среди примеров. Да, наверное, всяко почти везде есть, но в Зориче есть точно.

[kp9r4d]

$n! > 2 \cdot 3^{(n-2)}$

[B@R5uk]

Известный факт же, что факториал растёт быстрее всякой экспоненциальной функции, а всякая экспоненциальная быстрее любой степенной. Для решения вашей задачи разбейте факториал и степень на множители и скомбинируйте их как отношение пар. Сразу станет видно, что каждый новый множитель (после определённого номера $n$) меньше единицы.

[sergei1961]

Можно через ряд и признак Деламбера.

[Lia]

Пощадите человека, это же первый курс.

[provincialka]

B@R5uk в сообщении #1157160 писал(а):

Сразу станет видно, что каждый новый множитель (после определённого номера $n$) меньше единицы.

Этого может оказаться недостаточно. Это говорит только о том, что дробь с ростом $n$ убывает. Но вот к чему?
Тут нужна более аккуратная оценка, например, полученная с помощью

kp9r4d в сообщении #1157145 писал(а):

$n! > 2 \cdot 3^{(n-2)}$

[sergei1961]

Хорошо, первый курс. Общий член этой последовательности убывает со второго члена и ограничен снизу нулём.
Предел подпоследовательности, который обозначим x, равен пределу последовательности.
Отсюда $x=\lim (\frac{2x}{n})$, поэтому предел есть ноль.

[Евгений Машеров]

По-моему, ещё проще
$\frac {2^n}{n!}=\frac 2 1 \frac 2 2 \frac 2 3 \frac 2 4 \cdots \frac 2 n$
и видно, что, начиная с четвёртого, все множители меньше $\frac 1 2$

[SomePupil]

provincialka, вроде достаточно. При $0 < q < 1$ получаем:

$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$

где $C$ - константа. Последнее показывается через бином Ньютона $=$ неравенство Бернулли.

-- 04.10.2016, 17:27 --

Евгений Машеров подробно расписал. ТС осталось скомпилировать и слинковать все сказанное уважаемыми форумчанами.
P. S. Надеюсь, у него не получится мешанина вроде машинного кода.

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1157207 писал(а):

вроде достаточно. При $0 < q < 1$ получаем:

$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$

где $C$ - константа.

Это не то же самое, что

B@R5uk в сообщении #1157160 писал(а):

каждый новый множитель (после определённого номера $n$) меньше единицы

[TR63]

SomePupil в сообщении #1157207 писал(а):

При $0 < q < 1$ получаем:

$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$

где $C$ - константа. Последнее показывается через бином Ньютона $=$ неравенство Бернулли.

Такое неравенство можно доказать с помощью неравенства Коши.

[SomePupil]

mihaild, $\frac {2^n}{n!}=\frac 2 1 \frac 2 2 \frac 2 3 \frac 2 4 \cdots \frac 2 n < \frac 2 3 \cdot(\frac 1 2)^{n-4} = \frac {32} 3 \cdot (\frac 1 2)^n$

Теперь уже видно?

-- 04.10.2016, 18:08 --

mihaild, ааа, я Вас понял. Но все равно думаю, что B@R5uk имел ввиду именно это. Просто неаккуратно выразился.

[provincialka]

Ну.. в математике надо выражаться аккуратно! Тут используется не то, что каждый сомножитель меньше 1, а то, что он "отделен" от нее. То есть меньше некоторой границы, которая сама строго меньше 1.

[TR63]

TR63 в сообщении #1157228 писал(а):

SomePupil в сообщении #1157207

писал(а):
При $0 < q < 1$ получаем:

$$\lim\limits_{n\to\infty} Cq^n = 0,$$

где $C$ - константа. Последнее показывается через бином Ньютона $=$ неравенство Бернулли.

TR63 в сообщении #1157228 писал(а):

Такое неравенство можно доказать с помощью неравенства Коши.

Была опечатка. Надо: такой предел можно доказать с помощью неравенства Коши.