Строим контрпример (распределение бесконечного порядка)

[трапезун]

При введении понятия распределения бесконечного порядка часто в качестве примера рассматривают \varphi(g)=\sum_{k=0}^{\infty}g^{(k)}(k),\quad g\in D(\mathbb{R}).

Доказывая это от противного, функцию g полагают равной \exp(i s x)\eta(x), где s\in\mathbb{N}, а \eta(x)=1 при x\in[m-1/2,m+1/2], 0\leq \eta(x)\leq 1, \; x\in\mathbb{R} и supp \eta(x)\subset[m-1,m+1] и получают нужное противоречие.

Хотелось бы провернуть то же самое, только с действительнозначной функцией g(x). Какой вид предложите, господа?

[Gafield]

А что, $\cos(s x)$ вместо экспоненты не подойдет?

[трапезун]

Eсли взять косинус, то получим |\varphi(g)|=s^m|\cos(sm+\frac{\pi m}{2})|, а оценивая при k\leq n (где n - предположительный порядок распределения) |g^{(k)}(x)|\leq 2^n s^n n \max_{x\in\mathbb{R}}\max_{0\leq k\leq n}|\eta^{(k)}(x)|, откуда по определению порядка получаем s^m|\cos(sm+\frac{\pi m}{2})|\leq C 2^n s^n n \max_{x\in\mathbb{R}}\max_{0\leq k\leq n}|\eta^{(k)}(x)|.

А при m=n+1 имеем s |\cos(s(n+1)+\frac{\pi (n+1)}{2})|\leq C 2^n n \max_{x\in\mathbb{R}}\max_{0\leq k\leq n}|\eta^{(k)}(x)| для любого s\in\mathbb{N}. И всё бы хорошо, но только косинус в левой части зависит от s, и это всё портит.

[Gafield]

Для фиксированного $n$ можно подобрать сколь угодно большое $s\in \mathbb N$ так, чтобы косинус был сколь угодно близок к единице.