Сколько интересного наговорили ...
Разумеется Вы все правы, бесконечность натуральных чисел нужна, и она возникнет по любому, так что ничего с математикой в этом смысле не будет плохого. Я же имел в виду, что натуральные числа возникают как необходимость счёта отдельных предметов, учёта их, в любой форме. И даже самого начала этого развития уже достаточно для организации базы для общения.
Представить себе цивилизацию, оперирующую не отдельными (дискретными) предметами, и не видящую звёзд, а исключительно непрерывными функциями, объёмами - трудновато. Причём ни сама цивилизация не должна состоять из отдельных организмов (это снова счёт), ни дискретных объединений/предметов в зоне доступности быть не должно. Может быть мыслящий океан в Солярисе, если его туманом затянуть от космоса.
Интересно как могла бы быть построена информатика в системе исключительно действительных чисел, без рациональных и тем более целых ...
Про категории тоже согласен, как только пожелается хоть что-то отличать от другого/похожего/близкого, но не совпадающего - естественное желание ввести набор признаков классификации. А предельным переходом минимизации снова получаем и натуральные числа и двоичную систему.
Вот кстати ещё мысль подумалась. Мы воспринимаем поиск экстремума (минимума/максимума) чего либо как естественный процесс, экономии ресурсов или удовлетворения жадности, а можно ли представить себе существ, кому и в голову не приходит что-то оптимизировать, пользующиеся именно тем представлением как оно изначально придумано, без всяких улучшений и упрощения конкретных понятий, лишь добавляющих новые понятия? (Почему-то китайская цивилизация вспомнилась, хотя я про неё и мало знаю.) Ведь тогда траектория развития понятийного аппарата таких существ будет совершенно бредовой с нашей точки зрения, не плавный монотонный спуск в долину, а случайные блуждания. И куда они заведут нам непредставимо (из-за случайности процесса). Конечно за всю нашу область знаний они не выйдут, но вот система знаний у таких товарищей может быть как дырявое лоскутное одеяло и сможем ли мы это достаточно рано обнаружить - ещё вопрос.
Сюда же ещё подумалось, а не связано ли желание упрощения понятий с ограниченностью человеческой памяти (и общей и кратковременной), может быть люди с фогографической памятью и не ощущают потребности сводить всё к базовым понятиям? Или компьютеры, им ведь пока что всё равно в чём и как выражаются понятия и величины, усложнение программ для операций с неограниченным набором понятий непринципиально. Тогда и теория категорий становится наверное не такой уж необходимой. Так можно и до вообще отрицания абстрактного мышления дойти. Возможна ли такая цивилизация мне неизвестно, но жизнь такая очевидно вполне реальна. Вот это пожалуй засада так засада ...
В общем, если цивилизация состоит из более одной особи, имеет в зоне доступности дискретные предметы/явления (или например доступ к космосу с дискретными звёздами), применяет понятие оптимизации (в широком смысле) - то я не вижу возможности невозникновения понятий натуральных чисел, двоичной системы и огромной кучи следствий из этого.
PS.
Возможна ли физика без использования целых чисел? Ведь физика, если кратко, построена на экспериментах. Эксперимент - это наблюдение и измерение (чем точнее, тем лучше), измерение требует задания единиц измерения, то есть естественным образом возникает число
. Где ошибка в этой цепочке?
Мне думается не обязательно
, возникают лишь какие-то действительные числа - отношения между другими числами, не более того. Вводить единицу измерения можно лишь для удобства, а если все результаты экспериментов не кратны друг другу, то смысла единицы немного. И при опредённых условиях (отсутствие психологической потребности в упрощении понятий) можно единицу измерений и не вводить. Ну по крайней мере до открытия физической неделимости материи (элементарных частиц). Измерения от этого никуда не денутся, просто не будут выражаться как коэффициент от единицы измерений, будет просто действительное число.
Но в связи с упоминавшимся бардаком, в который нашу математику приведет удаление из нее аксиомы Архимеда, стрекозоидная математика должна быть совсем не похожа на земную. Вплоть до того, что в ней не будет сложения, а будет какая-то неведомая нам операция.
Вот тут мне сразу вспомнилась арифметика в остатках. Может я плохо понимаю, но она вполне себе ограничена, и с операцией сложения. Конечно и в ней возникает понятие бесконечно больших чисел, но уже далеко не так просто и не так необходимо, как в обычной арифметике.
-- 02.10.2016, 18:40 --PPS. Прошу не воспринимать слова выше как призыв к лженауке и отрицание научного метода. Скорее это размышление а возможен ли вообще другой путь и насколько далеко в процессе развития он может увести или остановит где-то на уровне первобытных обществ.
Мы можем задать упорядоченное поле (опять они, что ж такое! 
) аксиомами, с помощью которых нельзя будет никак выразить отношение «
— натуральное/целое число», хотя единица нам будет явственно видна. И отдельные суммы единиц. Вот чтобы любую такую сумму единиц отделить от остальных элементов, надо будет как-то аккуратно запихнуть в нашу систему индукцию.
Вот эти все поля, континуумы, системы аксиом, кольца - это откуда? Какие разделы математики, какие по ним учебники?
(или правильнее сказать "а я тогда не кто?")
