MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???

[Gafield]

shwedka писал(а):

Так что опять, в который раз, я призываю Вас ДОКАЗАТЬ, что уравнение

\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. \]

выполнено. В каждой компоненте!!

Всю тему я ниасилил, но, если $x_i$ - независимые переменные, то формула, очевидно, верна. Это пересчет производных при тождественной замене переменных

[shwedka]

Gafield
если $x_i$ - независимые переменные, то формула, очевидно,нe верна,
$\frac{ \partial x_i}{\partial x_j}=0$, $i\ne j$
по индексу $i$ суммирование НЕ производится

[Gafield]

А, вот оно как Для меня в этой записи суммирование так естественно, что я не подумал о других возможностях

[shwedka]

Ну, посмотрим на п.3. Вы пишете

Цитата:

Оказывается, что совпадения (11) и (12,а) можно достичь, если по аналогии с (6,а) применить выражения для частных производных

\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }},_{} _{} \frac{{\partial u_j }} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial u_j }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }} {{\partial x_i }} \] (6,б)

,


и проблема, пожалуй, еще хуже, чем раньше. Оказывается, что некоторые частные производные одного икса по другому определяются с помощью $u$, другие с помощью $\dot u$.
Почему они получаются одни и те же??
Вот, скажем, в (6b)
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ по первой формуле, $i=1,,j=2$,

$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$

почему эти значения одинаковы??

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

..и проблема, пожалуй, еще хуже, чем раньше. Оказывается, что некоторые частные производные одного икса по другому определяются с помощью $u$, другие с помощью $\dot u$.
Почему они получаются одни и те же??
Вот, скажем, в (6b)
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ по первой формуле, $i=1,,j=2$,
$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$
почему эти значения одинаковы??

1.Эту проблему Вы сразу снимете, если сравните между собой общеизвестные формулы для выражений, куда входят $u$ и $\dot u$

\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i dt}},,,\frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

В этих формулах

\[ \delta x_i \]

- это материальные отрезки, параллельные осям координат. Как видите, производная скорости по продольной координате – это скорость относительного удлинения материального отрезка, параллельного этой же координатной оси. А производная перемещения - это относительное удлинение того же материального отрезка.
2.Итак, Вы видите, что с помощью обсуждаемых формул уравнения (11) можно преобразовать в (12,а) и так иным способом доказать общеизвестный факт, что дивергенция скорости и скорость относительного изменения материального объема – одно и то же. Отрицая возможность такого преобразования, мы должны поставить под сомнение этот общеизвестный факт (и, разумеется, само уравнение неразрывности), доказанный различными способами. Если же мы такое преобразование принимаем, то должны принять и соотношения (6) с вытекающими отсюда последствиями.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок писал(а):

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

..и проблема, пожалуй, еще хуже, чем раньше. Оказывается, что некоторые частные производные одного икса по другому определяются с помощью $u$, другие с помощью $\dot u$.
Почему они получаются одни и те же??
Вот, скажем, в (6b)
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ по первой формуле, $i=1,,j=2$,
$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$
почему эти значения одинаковы??

1.Эту проблему Вы сразу снимете, если сравните между собой общеизвестные формулы для выражений, куда входят $u$ и $\dot u$

\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i dt}},,,\frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

В этих формулах

\[ \delta x_i \]

- это материальные отрезки, параллельные осям координат. Как видите, производная скорости по продольной координате – это скорость относительного удлинения материального отрезка, параллельного этой же координатной оси. А производная перемещения - это относительное удлинение того же материального отрезка

Совершенно не убедительно. Какие здесь отрезки?? Никакие материальные отрезки у Вас не удлинняются, жидкость-то несжимаемая!! А перемещения здесь как ни старайся- не увидеть!!! скорости только и ускорения.

Цитата:

\[ \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

А это вообще что такое??
Где $d$ в знаменателе??


Что-то сильно сомневаюсь я в этих общеизвестых формулах....
У них даже в левой и правой части размерность разная!!! Ссылочку общеизвестную не дадите???

Ну, с большим натягом можно еще смотреть и пытаться исправить и понять эти 'общеизвестные формулы' при одномерном движении. Но в пространстве Ваш отрезок станет гнуться и поворачиваться. К тому же Вам нужны еще и формулы для производных $\partial u_1/\partial x_2 $ и так далее, те такие, где индексы разные.

Цитата:

2.Итак, Вы видите, что с помощью обсуждаемых формул уравнения (11) можно преобразовать в (12,а) и так иным способом доказать общеизвестный факт, что дивергенция скорости и скорость относительного изменения материального объема – одно и то же. Отрицая возможность такого преобразования, мы должны поставить под сомнение этот общеизвестный факт (и, разумеется, само уравнение неразрывности), доказанный различными способами. Если же мы такое преобразование принимаем, то должны принять и соотношения (6) с вытекающими отсюда последствиями.

Совершенно неверно. Если Вы из одной верной формулы получили другую верную, это не служит аргументацией, что преобразования правильные. Просто ошибки где-то друг друга компенсировали. Простейший случай: если в преобразованиях ошибиться, написать неправильный знак, но ЧЕТНОЕ число раз, то получится правильный результат. Нет, не пойдет!

Пожалуйста, по-честному докажите, что приведенные два выражения для производной, которые Вы используете,
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ $i=1,,j=2$,
$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$
дают одинаковые значения.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Александр Козачок писал(а):

shwedka писал(а):

..и проблема, пожалуй, еще хуже, чем раньше. Оказывается, что некоторые частные производные одного икса по другому определяются с помощью $u$, другие с помощью $\dot u$.
Почему они получаются одни и те же??
Вот, скажем, в (6b)
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ по первой формуле, $i=1,,j=2$,
$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$
почему эти значения одинаковы??

1.Эту проблему Вы сразу снимете, если сравните между собой общеизвестные формулы для выражений, куда входят $u$ и $\dot u$

\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i dt}},,,\frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

(***)
В этих формулах

\[ \delta x_i \]

- это материальные отрезки, параллельные осям координат. Как видите, производная скорости по продольной координате – это скорость относительного удлинения материального отрезка, параллельного этой же координатной оси. А производная перемещения - это относительное удлинение того же материального отрезка

Совершенно не убедительно. Какие здесь отрезки?? Никакие материальные отрезки у Вас не удлиняются, жидкость-то несжимаемая!!

В несжимаемой жидкости не изменяется во времени по величине только произвольный ее объем, состоящий из одних и тех же частиц. Представьте себе прямоугольный (для простоты) параллелепипед

\[ \delta V = \delta x\delta y\delta z \]

, у которого ребра (материальные отрезки)

\[ \delta x,\delta y,\delta z \]

изменяются по длине таким образом, что объем

\[ \delta V \]

при этом остается неизменным.

Цитата:

А перемещения здесь как ни старайся- не увидеть!!! скорости только и ускорения.

Если есть скорости, то есть и перемещения, поскольку скорости – это производные по времени от перемещений. Просто в явном виде в уравнениях Навье-Стокса они не видны, но в развернутых выражениях для компонент скоростей (10) они появляются.

Цитата:

Цитата:

\[ \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

А это вообще что такое??
Где $d$ в знаменателе??

Производная перемещения - это относительное удлинение того же материального отрезка (но не скорость удлинения). Поэтому $d$ в знаменателе ни к чему.

Цитата:

Что-то сильно сомневаюсь я в этих общеизвестых формулах....
У них даже в левой и правой части размерность разная!!! Ссылочку общеизвестную не дадите???

Разумеется, дам: Литературные источники 1,2,4,5 в статье, но в них эта информация разбросана и, как обычно, недостаточно прозрачна. А по поводу размерности Вы что-то напутали! Ведь посмотрите: в первой формуле и слева, и справа размерность 1/время, а во второй- отсутствует. Я же попытаюсь для наилучшего взаимопонимания между механиком и математиком сконцентрировать и представить эту информацию в максимально упрощенной наглядной форме. Для этого запишем выражение относительного изменения элементарного объема прямоугольного (для простоты) параллелепипеда

\[ \delta V = \delta x\delta y\delta z \]

\begin{gathered} \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}} {{\delta V}} = \frac{{d(\delta x)}} {{\delta V}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}} {{\delta V}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}} {{\delta V}}\delta x\delta y = \hfill \\ = \frac{{d(\delta x)}} {{\delta x}} + \frac{{d(\delta y)}} {{\delta y}} + \frac{{d(\delta z)}} {{\delta z}}. \hfill \\ \end{gathered} \]. (1)

Как видите это изменение равно сумме относительных изменений длины элементарных отрезков

\[ \delta x,\delta y,\delta z \]

, образующих ребра этого объема в виде прямоугольного параллелепипеда. Нетрудно заметить, что речь идет о бесконечно малых (б.м.) изменениях. Если теперь эти изменения отнести к б.м. времени, то увидим, что скорость относительного изменения элементарного объема равна сумме скоростей относительных изменений длины элементарных отрезков

\[ \delta x,\delta y,\delta z \]

\begin{gathered} \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}} {{\delta Vdt}} = \frac{{d(\delta x)}} {{\delta Vdt}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}} {{\delta Vdt}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}} {{\delta Vdt}}\delta x\delta y = \hfill \\ = \frac{{d(\delta x)}} {{\delta xdt}} + \frac{{d(\delta y)}} {{\delta ydt}} + \frac{{d(\delta z)}} {{\delta zdt}} \hfill \\ \end{gathered} \]. (2)

В упомянутых мною учебных пособиях (среди них и пособия по высшей математике, и векторному анализу) разбросаны доказательства различными методами, что

\[ \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} = \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }},,,\frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i dt}} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} \]

. Минуя эти детали, в этих и в других пособиях Вы также найдете доказательства, что

\[ \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} = \operatorname{div} \vec u \]

,

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u \]

. (3)

Цитата:

Ну, с большим натягом можно еще смотреть и пытаться исправить и понять эти 'общеизвестные формулы' при одномерном движении. Но в пространстве Ваш отрезок станет гнуться и поворачиваться. К тому же Вам нужны еще и формулы для производных $\partial u_1/\partial x_2 $ и так далее, те такие, где индексы разные.

Упомянутые формулы одинаково справедливы и для одномерного, и для трехмерного течений. А что касается изгиба отрезка, то б.м. отрезки (и даже б.м. отрезки кривых линий) по общепринятому соглашению, в т.ч. и в математике, принимаются (добавляя «с достаточной точностью») прямыми и до, и после деформации.

shwedka писал(а):

Александр Козачок писал(а):

2.Итак, Вы видите, что с помощью обсуждаемых формул уравнения (11) можно преобразовать в (12,а) и так иным способом доказать общеизвестный факт, что дивергенция скорости и скорость относительного изменения материального объема – одно и то же. Отрицая возможность такого преобразования, мы должны поставить под сомнение этот общеизвестный факт (и, разумеется, само уравнение неразрывности), доказанный различными способами. Если же мы такое преобразование принимаем, то должны принять и соотношения (6) с вытекающими отсюда последствиями.

Совершенно неверно. Если Вы из одной верной формулы получили другую верную, это не служит аргументацией, что преобразования правильные. Просто ошибки где-то друг друга компенсировали. Простейший случай: если в преобразованиях ошибиться, написать неправильный знак, но ЧЕТНОЕ число раз, то получится правильный результат. Нет, не пойдет!
Пожалуйста, по-честному докажите, что приведенные два выражения для производной, которые Вы используете,
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ $i=1,,j=2$,
$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$
дают одинаковые значения.

Мне кажется, что Ваши возражения сейчас не логичны. Каждая из формул (***) сама по себе особых сомнений у Вас, похоже, не вызывают. Из статьи и приведенных выше разъяснений Вы уже видите, что компоненты векторов перемещения и скорости принудительно при постановке задачи связаны между собой достаточно жесткими условиями несжимаемости жидкости

\[ \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} = 0 \]

,

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = 0 \]

. Мы же теперь, зная, что косвенными методами уже установлены соотношения

\[ \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} = \operatorname{div} \vec u \]

,

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u \]

, пытаемся доказать их не обходным путем, а напрямую «в лоб», т.е. на самом деле проверить, а соблюдаются ли они в действительности. В результате мы получили (в статье) соотношение (11) и из него видим, что требование

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u \]

может быть выполнено, если

\[ \begin{gathered} \left( {\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial u_x }} {{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}}\frac{{\partial u_y }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}}\frac{{\partial u_z }} {{\partial z}} + } \right. \hfill \\ + \left. {\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial y}}\frac{{\partial u_y }} {{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial z}}\frac{{\partial u_z }} {{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x}}\frac{{\partial u_x }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial z}}\frac{{\partial u_z }} {{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x}}\frac{{\partial u_x }} {{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial y}}\frac{{\partial u_y }} {{\partial z}}} \right) = \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u \hfill \\ \end{gathered} \]

,

а если точнее, то фактически требуется выполнение более простых равенств согласно формул (13) в статье. А эти равенства оказываются возможными при условии наложения дополнительных связей, диктуемых обсуждаемыми нами соотношениями (***). В таком случае, зачем их доказывать? Хотя, конечно, с точки зрения чистой математики может быть интересно попытаться установить все возможные условия, при которых эти соотношения выполняются. Мы же установили, что именно они дают возможность удовлетворить требование

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u \]

. Если отвергнуть (***), то это значит отказаться от этого требования и, как следствие, от всей системы уравнений для несжимаемой жидкости. И наконец, мы знаем, что для несжимаемой жидкости не только

\[ \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} = 0 \]

,

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = 0 \]

, но обязательно отсюда следует и

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}} {{dt^2 }} = 0 \]

. Поэтому напрашивается, что должна существовать и очевидная аналогия

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}} {{dt^2 }} = \operatorname{div} \ddot \vec u \]

. И действительно, при проверке оказалось, что это равенство имеет место при тех же (***), но менее жестких, условиях, что и равенство

\[ \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u \]

, поскольку требуется только первое соотношение для градиента скорости\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i dt}}, а совместно со вторым соотношением

\[ \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

оно послужило лишь для подсказки о наличии аналогии для дивергенции ускорения, но вместе с ним в наших дальнейших преобразованиях не используется. Или, может быть, Вы все еще настаиваете на доказательстве «совместности» этих двух соотношений и считаете доказательство по аналогии не убедительным ?

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Цитата:

\[ \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

С математической точки зрения, это равенство-бессмысслица. Справа и слева объекты разной математической природы!! Слева функция, а справа что? дифференциальная форма??
Ссылку Вы так и не дали. Книга, страница.

Цитата:

Вы все еще настаиваете на доказательстве «совместности» этих двух соотношений и считаете доказательство по аналогии не убедительным ?

Совершенно категорически!!!

Цитата:

Мне кажется, что Ваши возражения сейчас не логичны. Каждая из формул (***) сама по себе особых сомнений у Вас, похоже, не вызывают.

Как вы видите, вторая вызывает.

Более того, эти формулы касаются только ситуации, когда в числителе и знаменателе один и тит же индекс. А нуждаетесь Вы и в других случаях.
Но вернемся к

Цитата:

shwedka писал(а):
..и проблема, пожалуй, еще хуже, чем раньше. Оказывается, что некоторые частные производные одного икса по другому определяются с помощью $u$, другие с помощью $\dot u$.
Почему они получаются одни и те же??
Вот, скажем, в (6b)
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ по первой формуле, $i=1,,j=2$,
$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$
почему эти значения одинаковы??

Ответа Вы не дали.


ЕСли Вы эту совместность в (6б) доказать не можете, так и признайтесь, и перестаньте использовать. Или докажите совместность.

Цитата:

доказательство по аналогии

может служить лишь сокращением нормального доказательства и должно быть предъявлено по первому требованию.

В целом, вы хотите доказать, что дивергенция ускорения равна нулю. Пока что безупречного доказательства не видно.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

Примите мои поздравления с Праздником Великой Победы!
На мою долю выпало испытать все тяготы войны, и я хорошо помню этот День ( http://a-kozachok1.narod.ru/my.home2.mht ). Желаю Вам и Вашим потомкам никогда не видеть ничего подобного. Сражайтесь на полях международных Интернет- форумов и учите этому своих детей. Помните при этом заповедь мудрецов: «сражаясь с ничтожным противником, Вам никогда не одержать великой победы». А теперь по существу:

shwedka писал(а):

Цитата:

\[ \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \]

С математической точки зрения, это равенство-бессмысслица. Справа и слева объекты разной математической природы!! Слева функция, а справа что? дифференциальная форма??
Ссылку Вы так и не дали. Книга, страница.

А давайте попробуем выполнить первое элементарное преобразование этого кажущегося бессмысленным равенства:

\[ \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }}\delta x_i = d(\delta x_i ) \]

Как видите, смысл появляется: слева частный дифференциал, а справа полный дифференциал частного. А теперь в исходном равенстве слева выполним подстановку

\[ u_i = \dot u_i dt \]

, принимая во внимание, что время

\[ dt \]

независимая переменная,

\[ \frac{{\partial (\dot u_i dt)}} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \Rightarrow \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i dt}} \]

(1)

Итак, из равенства-бессмыслицы мы получили первое равенство, которое у Вас уже, кажется, не вызывает сомнений.

shwedka писал(а):

Цитата:

Вы все еще настаиваете на доказательстве «совместности» этих двух соотношений и считаете доказательство по аналогии не убедительным ?

Совершенно категорически!!!

В таком случае воспользуемся последним равенством и подставим в него известную нам формулу

\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }} {{\partial x_i }} \]

. В результате получим

\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i dt}} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }} \]

(2)

А теперь, используя (2), возвратим

\[ dt \]

на прежнее место

\[ \frac{{\partial (\dot u_i dt)}} {{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} \Rightarrow \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }} {{\partial x_i }} = \frac{{d(\delta x_i )}} {{\delta x_i }} = \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }} \]

, (3)

откуда следует подтверждение совместности, поскольку и в (2), и в (3) отношение

\[ \frac{{\partial x_j }} {{\partial x_i }} \]

одно и то же.
Надеюсь, что полученный результат Вас удовлетворил и поэтому другие замечания в ответах не нуждаются? Если да, то остальное, быть может, все-таки по аналогии?
А по поводу ссылок, то я их дал в предыдущем сообщении «Литературные источники 1,2,4,5 в статье, но в них эта информация разбросана и, как обычно, недостаточно прозрачна», но не указал страниц. Если эти ссылки Вас еще интересуют, то я попытаюсь указать и страницы.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Цитата:

смысл появляется: слева частный дифференциал, а справа полный дифференциал частного.

Не пойдет. Слева дифференциал 1 порядка, справа-второго. Разной природы математические объекты не могут быть равны!

Цитата:

$ u_i = \dot u_i dt $,

Опять бессмыслица. слева функция, справа-дифференциал.

Цитата:

равенство, которое у Вас уже, кажется, не вызывает сомнений.

Именно 'кажется'. Но оно по крайней мере не бессмысленно.

Цитата:

подставим в него известную нам формулу

Формула известна тем, что Вы долгое время пытались ее доказать, а потом признались, что не можете.

Цитата:

поскольку и в (2), и в (3) отношение $ \frac{{\partial x_j }} {{\partial x_i }} $ одно и то же

Именно это Вы не смогли доказать.

Цитата:

А здесь и признаваться не в чем. И так все видно! Если бы я с самого начала не сомневался в бесспорности этого доказательства, то, вероятно, не занимался бы изнурительными поисками дополнительного обоснования для формул (6), которое изложено в п.3. Так что, действительно, давайте посмотрим, насколько убедительно это обоснование.

Пока нинасколько.
Вопрос остается.

Цитата:

Вот, скажем, в (6b)
$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}= \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2 }}/\frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1}}$ по первой формуле, $i=1,,j=2$,
$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2}=\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2}}/\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1}}$ по второй формуле $j=1,i=2$
почему эти значения одинаковы??

Использовать (6) нельзя, так как (6) не доказано.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Цитата:

$ u_i = \dot u_i dt $,

Опять бессмыслица. слева функция, справа-дифференциал.

Этой цитатой, казалось бы, весьма наглядно подчеркнута допущенная мною серьезная ошибка, которая делает бессмысленным доказательство, представленное в предыдущем сообщении. И, тем не менее, несмотря на кажущуюся очевидность подмеченной Вами ошибки, я все-таки осмелюсь заявить, что на самом деле ошибки нет, и поэтому она лишь только кажущаяся. С этой целью я сначала заручусь очень уместной в таких случаях цитатой (с соответствующей принятой нами заменой математических символов) из весьма авторитетного университетского учебника «Механика сплошной среды, т.1, 1970, стр. 96 (автор Л.И. Седов), а именно: «Очевидно, что

\[ u = \dot udt \]

, т.е.

\[ u_i = \dot u_i dt \]

имеет порядок

\[ dt \]

и является бесконечно малой величиной…». Из этой цитаты Вы отчетливо видите, что формула, которую Вы отвергли, принадлежит не мне. Мною она фактически позаимствована в таком, пока вроде бы неприемлемом для математика, виде. А вид этот обусловлен отсутствием непротиворечивых математических правил записи операций дифференцирования функций, представляющих собой заведомо бесконечно малые величины различных порядков. Ну вот, к примеру, посмотрите еще раз на формулу для объема бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда

\[ \delta V = \delta x\delta y\delta z \]

. Если рассматривать сами по себе, то справа- величина третьего порядка малости, а слева- только первого. Что это с Вашей точки зрения- бессмыслица? Но эта запись ведь уже принята математиками точно так же, как и предыдущая в работах, посвященных тензорному исчислению.
Итак, если Вы согласны с этими доводами, то свои возражения по поводу моего предыдущего сообщения, я надеюсь, сформулируете заново.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Все дело в изменении смысла и обозначений. У Седова рассматриваются перемещения за малое время, то есть то, что по-современному обозначили бы $du$, а он обозначает $\bf{w}$. У Вас же по смыслу $u$ перемещение за время, прошедшее с начала отсчета. Величина совершенно не малая.
Даже если Вам на секунду поверить, то сразу же расыпается в других местах:
Вот пишете Вы $\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2 }}$
И теперь в числителе - второй дифференциал (если $u$ -первый, как Вам сейчас вдруг захотелось) а в знаменателе- первый. Нехорошо!! И много где еще. Так что оставьте Седова в покое. Седов был человек квалифицированный (даже выдающийся), он не пытался свое $\bf{w}$ дифференцировать.

Что же касается математических обозначений, то математики всегда сначала точно определяют, что имеется в виду, а потом пишут формулы. То есть не как у Вас, написали формулу, а потом стали думать, что же она означает и как ее понимать, а наоборот, сначала определятется, что означают входящие в формулу символы, а потом саму формулу пишут. Недоразумения исключены. Так что за математику не волнуйтесь. У Вас другие заботы. Напоминаю, что Ваше утверждение о равенстве нулю дивергенции ускорения по-прежнему живет без обоснования.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Все дело в изменении смысла и обозначений. У Седова рассматриваются перемещения за малое время, то есть то, что по-современному обозначили бы $du$, а он обозначает $\bf{w}$. У Вас же по смыслу $u$ перемещение за время, прошедшее с начала отсчета. Величина совершенно не малая.

Здесь я с Вами кое в чем должен согласиться. Формулы (10) в статье действительно включают компоненты перемещения с начала отсчета, которые в общем случае могут быть не обязательно малыми. Но это начало ведь может выбираться нами произвольно и даже так, чтобы перемещения для каждого рассматриваемого момента времени были малыми, т.е. для каждого рассматриваемого момента времени это начало окажется новым. И вот оказывается, что совпадения формул (11) и (12,а) можно достичь только в том случае, когда

\[ u \]

величина бесконечно малая. Это вызвано тем, что только в таком случае

\[ \operatorname{div} u = \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} \]

, т.е. соответствует величине относительного изменения элементарного объема

\[ \delta V \]

.

Цитата:

Даже если Вам на секунду поверить, то сразу же расыпается в других местах:
Вот пишете Вы $\frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_2 }}$
И теперь в числителе - второй дифференциал (если $u$ -первый, как Вам сейчас вдруг захотелось) а в знаменателе- первый. Нехорошо!! И много где еще.

Мне кажется, что математики, занимавшиеся уравнениями МСС, давно уже свыклись с этой кажущейся математической крамолой (см., например, учебное пособие: Фихтенгольц Г.М., «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. 3, 1969, стр. 369-370, формулы для потока тепла). И вот, даже в древнем знаменитом учебнике В.И. Смирнова «Курс высшей математики», т. 2, 1958, стр. 329, вывод уравнения неразрывности без каких либо оговорок начинается формулой для элементарного расхода жидкости

\[ dQ \]

при скорости

\[ v_n \]

через поверхность

\[ dS \]

за время

\[ dt \]

\[ dQ = \rho v_n dtdS \]

,

а векторное поле перемещений записывается той же не приемлемой Вами формулой

\[ u = \dot udt \]

(стр. 327), причем, с последующим дифференцированием именно бесконечно малой величины

\[ u \]

при переходе к

\[ \operatorname{div} u \]

. Хотя, если писать абсолютно корректно, то запись, вполне очевидно, должна быть такой:

\[ du = \dot udt \]

. Но поскольку

\[ du \]

фактически есть перемещение за бесконечно малое время, то чтобы исключить непривычную запись

\[ \frac{{\partial (du)}} {{\partial x_i }} \]

можно писать просто

\[ u \]

. Здесь следует осмыслить тот факт, что на самом-то деле величина перемещения с начала отсчета в принципе может быть какой угодно и, разумеется, в том числе даже бесконечно малой. Поэтому к ошибкам при вычислениях такая запись не приведет, если помнить, что она означает перемещение, но только за какое-то бесконечно малое время. Если перемещение конечная величина, то такая запись ошибочна. Я понимаю, что с ходу осмыслить нюансы столь непривычного и не рассмотренного в учебниках нестандартного перехода к такой записи очень нелегко. По себе знаю. При этом часто ловлю себя на мысли, что наши предшественники были понятливее, раз не обращали внимания на трудноуловимые для нас детали такого перехода. Но теперь, когда мучительные размышления позади, все выглядит необычайно просто. Посудите сами: например, при колебательном движении происходит знакопеременное изменение перемещений с переходом через область бесконечно малых величин. Амплитуда этих колебаний в частном случае тоже может быть бесконечно малой. Поэтому в формулах (10) и во всех остальных вполне обоснованно будут фигурировать только бесконечно малые перемещения! Здесь, может быть, стоило математикам потрудиться по поводу обозначений с целью исключить путаницу при переходе от

\[ u \]

к

\[ du \]

и наоборот.

Цитата:

Так что оставьте Седова в покое. Седов был человек квалифицированный (даже выдающийся)…

А вот уж этого я Вам обещать никак не смогу, поскольку механику сплошных сред я изучал по учебнику Седова и пока считаю его лучшим из всех мне известных. Во всех работах, представленных на моем WWW, Вы найдете ссылки на этот учебник. К тому же известное Вам учебное пособие «Парадоксы МСС» посвящено мною именно изъянам этой области знаний и в полном объеме еще не завершено. А относительно личных качеств этого ученого я с Вами согласен и хотел бы еще добавить то, что сказал ранее по поводу отношения Л.И. Седова к обращавшимся к нему авторам новых идей не с его окружения, а просто «с улицы»: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=2233&pos ... c&start=90 .

Цитата:

…он не пытался свое $\bf{w}$ дифференцировать

А вот здесь Вы ошибаетесь. И в этом можно убедиться, если посмотреть формулы (2.24) – (2.26) - гл.IV в его учебнике МСС. Хотя, если быть справедливым, то это сделано намного раньше при выводе уравнений классической теории упругости (Ламе), которые анализируются в учебнике. Л.И. Седов лишь раскрыл (чего почему-то не сделал математик В.И. Смирнов), хотя и не подчеркнул, подмеченные Вами кажущиеся противоречия упомянутой формулы. Но Л.И. Седову, скорее всего, принадлежит и явный с Ваших позиций другой криминал - дифференцирование не бесконечно малых, а обратных им - бесконечно больших величин. Об этом свидетельствует формула (8.22) -гл. II в его учебнике, и записал он ее без каких-либо оговорок

\[ \frac{d} {{dt}}(\frac{1} {{\delta V}}) + \frac{1} {{\delta V}}\operatorname{div} \dot \vec u = 0 \]

Поэтому очень хотелось бы знать, что Вы думаете по этому поводу?

Цитата:

Что же касается математических обозначений, то математики всегда сначала точно определяют, что имеется в виду, а потом пишут формулы. То есть не как у Вас, написали формулу, а потом стали думать, что же она означает и как ее понимать, а наоборот, сначала определятется, что означают входящие в формулу символы, а потом саму формулу пишут. Недоразумения исключены. Так что за математику не волнуйтесь.

Так поступают, вероятно, далеко не все. Многие, особенно талантливые математики, мне кажется, полагаясь на интуицию, сначала все-таки ищут наиболее подходящие аналогии.
А что касается признанной «королевы наук» - математики, то королей ведь тоже посещают болезни. Об этом всем нам красноречиво напомнил М. Клайн.

Цитата:

У Вас другие заботы. Напоминаю, что Ваше утверждение о равенстве нулю дивергенции ускорения по-прежнему живет без обоснования.

А может быть Вы теперь уже все-таки согласитесь с приведенными выше доводами, затем с этих позиций еще раз пронализируете мои предыдущие рассуждения и сочтете обоснования для дивергенции ускорения достаточными с учетом аналогии доказательства для дивергенции скорости?

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок
Написано много. У меня нет склонности уходить в дальнейший анализ написанного
классиками 50 лет назад, в обозначениях того времени. Здесь краткими цитатами не обойтись, нужно в каждом конкретном случае внимательно смотреть, что имелось в виду под каждым обозначением и каждым преобразованием.

Давайте так. Напишите заново, но не по аналогии, а впрямую,
Ваше доказательство равенства нулю дивергенции ускорения. На прежнем рассуждении мы порядочно помарали, так что начнем с чистого листа. И разберемся.

Постарайтесь

Цитата:

писать абсолютно корректно:

если употребление математической крамолы Вы оправдываете соображениями наглядности, то пусть не будет наглядности, но и крамолы не будет, если, конечно, возможно. Избегайте конструкций типа "на самом деле А, но для простоты напишем Б". пишите как на самом деле. Так что, например, на вектор делить не нужно. А если без крамолы не обойтись, то демонстрируйте ее явно. Начните с определений. Что обозначено каждым символом.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемая Shwedka!

Цитата:

Л.И. Седову, скорее всего, принадлежит и явный с Ваших позиций другой криминал - дифференцирование не бесконечно малых, а обратных им - бесконечно больших величин. Об этом свидетельствует формула (8.22) -гл. II в его учебнике, и записал он ее без каких-либо оговорок

\[ \frac{d} {{dt}}(\frac{1} {{\delta V}}) + \frac{1} {{\delta V}}\operatorname{div} \dot \vec u = 0 \]

.

Для подготовки ответа в полном объеме очень хотелось бы знать Вашу позицию этому поводу?

С уважением, Александр Козачок