Спасибо Вам за то, что прервали мои страдания
Someone писал(а):
Прошу прощения, текст несколько сумбурный, поскольку писал экспромтом.
Текст действительно сумбурный и в нём много лишнего. Сразу отмечу, что конечные множества и множества с конечными дополнениями выкидывать не надо, они ничем не мешают. Изложу то же самое чуть короче.
Пусть

--- перечисление всех множеств из

(возможно, с повторениями). Образуем последовательность бесконечных множеств

следующим образом:
1)

;
2) если

бесконечно, то полагаем

, в противном случае полагаем

.
Теперь определим последовательность

следующим образом:
1)

;
2) пусть

определено. Так как

бесконечно, то в нём найдётся элемент, отличный от

. Полагаем

равным одному из таких элементов.
Легко проверить, что множество

обладает нужными свойствами.
-------------------------
А теперь более интересная (но и более сложная) задача.
Предположим, что двое играют в следующую игру. Ходы делаются по очереди. Перед началом игры имеется корзина, в которой сложены шары с номерами

, по одному шару на каждый номер. В начале каждого хода первый игрок сообщает второму игроку произвольную упорядоченную пару натуральных чисел. После этого второй игрок может либо пропустить ход, либо выкинуть какой-то один шар из корзины.
Скажем, что множество

является
сжатым по отношению к семейству

подмножеств натурального ряда, если

бесконечно и для любого

одно из множеств

,

конечно.
По результатам игры (после завершения всех шагов

) формируются:
1) Для каждого

множество

, состоящее из всех таких

, что пара

была написана первым игроком на одном из шагов в процессе игры;
2) Семейство

;
3) Множество

, состоящее из номеров тех шаров, которые остаются в корзине после окончания игры (то есть тех шаров, которые не выкидываются из корзины ни на каком шаге).
Игрок номер 2 выигрывает, если множество

является сжатым по отношению к

.
Докажите, что для игрока номер 2 существует выигрышная стратегия (то есть что он может выиграть всегда, какие бы ходы ни делал первый игрок).