Момент инерции однородного цилиндра.

[Fass]

Задача найти момент инерции однородного цилиндра радиуса $R$ и массой $m$.
По формуле это $I=\int\limits_{}^{}r^2dm=\rho \int\limits_{}^{}r^2 dV$
Дальше можно найти объем $dV$ кольца радиуса $r$ толщиной $dr$ высотой $h$: $dV=2\pi r h dr$
И $I=\rho\int\limits_{0}^{R} r^2 2\pi r h dr=2\pi\rho h \int\limits_{0}^{R} r^3 dr = \frac{1}{2}\pi\rho h r^4|_0^R=$ $\frac{1}{2}\pi\rho h R^4$ $ = \frac{ \pi m h R^4}{2\pi h R^2}=\frac{mR^2}{2}$
Но если $dV$ определить так, мол это объем диска перпендикулярного оси симметрии $dV=\pi R^2 dh$, где $dh$ высота этого диска. То получается так:
$I=\rho\int\limits_{0}^{h} r^2 \pi R^4 dh = \pi\rho R^4 h|_0^h=\pi\rho h R^4 $
И уже тут видно, что получается в два раза больше, чем до этого. Что тут не так? Я почему то неправильно определяю $dV$?

[svv]

Fass в сообщении #1154666 писал(а):

Но если $dV$ определить так, мол это объем диска перпендикулярного оси симметрии $dV=\pi R^2 dh$, где $dh$ высота этого диска. То получается так:
$I=\rho\int\limits_{0}^{h} r^2 \pi R^4 dh = \pi\rho R^4 h|_0^h=\pi\rho h R^4 $

Здесь Вы всем точкам цилиндра приписываете расстояние от оси, равное $R$ — радиусу цилиндра, хотя это расстояние меняется от $0$ до $R$. Естественно, момент получается такой, как для полого тонкостенного цилиндра («без дна и покрышки»), у которого все точки в самом деле находятся на расстоянии $R$ от оси.

[Munin]

Ну а почём вы знаете, может, "цилиндр" и подразумевается как поверхность, а не тело :-)

[DimaM]

Относительно какой оси требуется определить момент?

[Fass]

DimaM в сообщении #1154690 писал(а):

Относительно какой оси требуется определить момент?

Относительно оси симметрии.

svv в сообщении #1154670 писал(а):

Здесь Вы всем точкам цилиндра приписываете расстояние от оси, равное $R$ — радиусу цилиндра, хотя это расстояние меняется от $0$ до $R$. Естественно, момент получается такой, как для полого тонкостенного цилиндра («без дна и покрышки»), у которого все точки в самом деле находятся на расстоянии $R$ от оси.

Ну это тогда объясняет бОльший момент инерции... Но мне все равно не очень понятно почему так. По моей задумке я разбиваю цилиндр на диски высотой $dh$. Объем тогда $dV=\pi R^2 dh$... И интегрирую(складываю) и все.Или все дело в том, что изначально в $I=\int\limits_{0}^{h} \rho r^2 dV $ Присутствует $r^2$... Полюбому. Получается что через такие диски вообще нельзя интегрировать из-за этого?

[DimaM]

Fass в сообщении #1154714 писал(а):

По моей задумке я разбиваю цилиндр на диски высотой $dh$. Объем тогда $dV=\pi R^2 dh$... И интегрирую(складываю) и все.

Складываете что? Нужно складывать моменты инерции дисков, а вы складываете что-то другое.

[realeugene]

Fass в сообщении #1154666 писал(а):

$I=\rho\int\limits_{0}^{h} r^2 \pi R^4 dh

Что в этой формуле у вас обозначено буквой $r$? Для диска целиком уже нет такой буквы.

[Fass]

Ага, ну примерно понял. Пытался соединить разные вещи какие то. В общем спасибо =)

[DimaM]

Посчитать момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии - тоже небезынтересное упражнение.

[Fass]

DimaM в сообщении #1154750 писал(а):

Посчитать момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии - тоже небезынтересное упражнение.

Кажется в задачнике будет такая задача )