2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 00:14 


24/11/14
20
Задача найти момент инерции однородного цилиндра радиуса $R$ и массой $m$.
По формуле это $I=\int\limits_{}^{}r^2dm=\rho \int\limits_{}^{}r^2 dV$
Дальше можно найти объем $dV$ кольца радиуса $r$ толщиной $dr$ высотой $h$: $dV=2\pi r h dr$
И $I=\rho\int\limits_{0}^{R} r^2 2\pi r h dr=2\pi\rho h \int\limits_{0}^{R} r^3 dr = \frac{1}{2}\pi\rho h r^4|_0^R=$ $\frac{1}{2}\pi\rho h R^4$ $ = \frac{ \pi m h R^4}{2\pi h R^2}=\frac{mR^2}{2}$
Но если $dV$ определить так, мол это объем диска перпендикулярного оси симметрии $dV=\pi R^2 dh$, где $dh$ высота этого диска. То получается так:
$I=\rho\int\limits_{0}^{h} r^2 \pi R^4 dh = \pi\rho R^4 h|_0^h=\pi\rho h R^4 $
И уже тут видно, что получается в два раза больше, чем до этого. Что тут не так? Я почему то неправильно определяю $dV$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10909
Crna Gora
Fass в сообщении #1154666 писал(а):
Но если $dV$ определить так, мол это объем диска перпендикулярного оси симметрии $dV=\pi R^2 dh$, где $dh$ высота этого диска. То получается так:
$I=\rho\int\limits_{0}^{h} r^2 \pi R^4 dh = \pi\rho R^4 h|_0^h=\pi\rho h R^4 $
Здесь Вы всем точкам цилиндра приписываете расстояние от оси, равное $R$ — радиусу цилиндра, хотя это расстояние меняется от $0$ до $R$. Естественно, момент получается такой, как для полого тонкостенного цилиндра («без дна и покрышки»), у которого все точки в самом деле находятся на расстоянии $R$ от оси.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну а почём вы знаете, может, "цилиндр" и подразумевается как поверхность, а не тело :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 07:44 
Заслуженный участник


28/12/12
7931
Относительно какой оси требуется определить момент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 10:28 


24/11/14
20
DimaM в сообщении #1154690 писал(а):
Относительно какой оси требуется определить момент?


Относительно оси симметрии.

svv в сообщении #1154670 писал(а):
Здесь Вы всем точкам цилиндра приписываете расстояние от оси, равное $R$ — радиусу цилиндра, хотя это расстояние меняется от $0$ до $R$. Естественно, момент получается такой, как для полого тонкостенного цилиндра («без дна и покрышки»), у которого все точки в самом деле находятся на расстоянии $R$ от оси.


Ну это тогда объясняет бОльший момент инерции... Но мне все равно не очень понятно почему так. По моей задумке я разбиваю цилиндр на диски высотой $dh$. Объем тогда $dV=\pi R^2 dh$... И интегрирую(складываю) и все.Или все дело в том, что изначально в $I=\int\limits_{0}^{h} \rho r^2 dV $ Присутствует $r^2$... Полюбому. Получается что через такие диски вообще нельзя интегрировать из-за этого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 10:33 
Заслуженный участник


28/12/12
7931
Fass в сообщении #1154714 писал(а):
По моей задумке я разбиваю цилиндр на диски высотой $dh$. Объем тогда $dV=\pi R^2 dh$... И интегрирую(складываю) и все.

Складываете что? Нужно складывать моменты инерции дисков, а вы складываете что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 10:50 


27/08/16
10225
Fass в сообщении #1154666 писал(а):
$I=\rho\int\limits_{0}^{h} r^2 \pi R^4 dh
Что в этой формуле у вас обозначено буквой $r$? Для диска целиком уже нет такой буквы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 12:39 


24/11/14
20
Ага, ну примерно понял. Пытался соединить разные вещи какие то. В общем спасибо =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 13:02 
Заслуженный участник


28/12/12
7931
Посчитать момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии - тоже небезынтересное упражнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции однородного цилиндра.
Сообщение26.09.2016, 14:54 


24/11/14
20
DimaM в сообщении #1154750 писал(а):
Посчитать момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии - тоже небезынтересное упражнение.

Кажется в задачнике будет такая задача )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group