Представление числа 4^n

[scwec]

Даны рациональные числа $a,b$ такие, что $a\ne{b}$ и $ab\ne{0}$, $n$ - произвольное целое число.
Докажите, что существуют рациональные числа $x,y$ такие, что $\dfrac{y^2-x^4}{a^4-b^4}=4^n$

[sa233091]

Для четных $\[n\]$ берём $\[y = {2^n}{a^2},x = {2^{n/2}}b\]$

[scwec]

Приведу два решения. Одно, отличное от приведенного sa233091 - для четных $n$, другое - для нечетных $n$.
Для $n=2k$ это $x=\dfrac{2^{k-1}(a^4-2b^4)}{ba^2}, y=\dfrac{4^{k-1}(a^8+4a^4{b^4}-4b^8)}{b^2{a^4}}$

Для $n=2k-1$ это $x=\dfrac{2^{k-1}{b^2}}{a}, y=\dfrac{4^{k-1}(2a^4-b^4)}{a^2}$.

[sa233091]

scwec в сообщении #1153668 писал(а):

Приведу два решения. Одно, отличное от приведенного sa233091 - для четных $n$, другое - для нечетных $n$.
Для $n=2k$ это $x=\dfrac{2^{k-1}(a^4-2b^4)}{ba^2}, y=\dfrac{4^{k-1}(a^8+4a^4{b^4}-4b^8)}{b^2{a^4}}$

Для $n=2k-1$ это $x=\dfrac{2^{k-1}{b^2}}{a}, y=\dfrac{4^{k-1}(2a^4-b^4)}{a^2}$.

Большое спасибо за приведенное решение! Однако хотелось бы узнать как вы его нашли? Методом подбора или как-то по другому?
И еще: можно ли доказать существование таких чисел без приведения примера ?

[scwec]

Все решения с произвольным целым $n$ и рациональными $a,b, a\ne{b},ab\ne{0}$ получаются из решений 2-х уравнений.
$\dfrac{Y^2-X^4}{m^4-1}=1\qquad(1)$ соответствует четным $n$, где $n=2k, X=\dfrac{x}{{b}2^{k}}, Y=\dfrac{y}{{b^2}4^{k}}, m=a/b$
$\dfrac{Y^2-X^4}{m^4-1}=4\qquad(2)$ соответствует нечетным $n$, где $n=2k-1, X=\dfrac{x}{{b}2^{k-1}}, Y=\dfrac{y}{{b^2}4^{k-1}}, m=a/b$ .
Оба уравнения заменой $X=\dfrac{w}{2u}, Y=\dfrac{-w^2+2u^3}{4u^2}\qquad(3)$
обратная замена $u=2Y+2X^2, w=4X(Y+X^2)\qquad(4)$ приводятся к виду
$w^2=u^3-4(m^4-1)u\qquad(5)$
$w^2=u^3-16(m^4-1)u\qquad(6)$
Это уравнения двух эллиптических кривых в канонической форме.
Уравнение $(1)$ имеет очевидное решение $X=1,Y=m^2$.
На кривой $(5)$ этому решению соответствует рациональная точка $P=(u,w)=(2m^2+2,4m^2+4)$ - используем $(4)$
Точке $2P=(m^4,-m^2(m^4-2))$ на кривой $(5)$ соответствует решение уравнения $(1)$
$X=\dfrac{m^4-2}{2m^2}, Y=\dfrac{m^8+4m^4-4}{4m^4}$ - используем $(3)$.
Это решение в переменных $x,y$, которое мною было приведено ранее.
Точно так же уравнение $(2)$ имеет очевидное решение $X=1/m, Y=\dfrac{2m^4-1}{m^2}$. В переменных $x,y$ оно и было приведено.
На второй эллиптической кривой $(6)$ этому решению соответствует рациональная точка $Q=(u,w)=(4m^2,8m)$.
Далее можно продолжать: $2Q=\left(\dfrac{(2m^4-1)^2}{m^2},-\dfrac{(2m^4-1)(4m^8-4m^4-1)}{m^3}\right)$ и эта точка дает новое решение для уравнения $(2)$
и т.д.
Что касается доказательства существования решений без их нахождения, то это, в принципе, возможно для конкретного $m$.
В данном случае можно даже доказать, что для всех целых $m$ эллиптические кривые $(5),(6)$ несут на себе бесконечное множество рациональных
точек. При доказательстве можно использовать, например, то обстоятельство, что точки $3P$ и $2Q$ не яваляются целыми.