Все решения с произвольным целым
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и рациональными
![$a,b, a\ne{b},ab\ne{0}$ $a,b, a\ne{b},ab\ne{0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5fbb8340bddc3a4c68f24e48f7654b882.png)
получаются из решений 2-х уравнений.
![$\dfrac{Y^2-X^4}{m^4-1}=1\qquad(1)$ $\dfrac{Y^2-X^4}{m^4-1}=1\qquad(1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/3/b8300b3497637b06fef7190448f6fc7982.png)
соответствует четным
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, где
![$\dfrac{Y^2-X^4}{m^4-1}=4\qquad(2)$ $\dfrac{Y^2-X^4}{m^4-1}=4\qquad(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/8/d084b72fb3f35fa63323a3cb4157caa782.png)
соответствует нечетным
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, где
![$n=2k-1, X=\dfrac{x}{{b}2^{k-1}}, Y=\dfrac{y}{{b^2}4^{k-1}}, m=a/b$ $n=2k-1, X=\dfrac{x}{{b}2^{k-1}}, Y=\dfrac{y}{{b^2}4^{k-1}}, m=a/b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/1/1715488b43c2a0ae523b10f7ebff01a682.png)
.
Оба уравнения заменой
обратная замена
![$u=2Y+2X^2, w=4X(Y+X^2)\qquad(4)$ $u=2Y+2X^2, w=4X(Y+X^2)\qquad(4)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/8/5a80c03db1955d58ea95d9375eb89ef782.png)
приводятся к виду
![$w^2=u^3-4(m^4-1)u\qquad(5)$ $w^2=u^3-4(m^4-1)u\qquad(5)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/3/bd3c72ab3d974f0c95285cb20ebec78682.png)
![$w^2=u^3-16(m^4-1)u\qquad(6)$ $w^2=u^3-16(m^4-1)u\qquad(6)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/6/876b23fd038a6ff565728a63596e6b3582.png)
Это уравнения двух эллиптических кривых в канонической форме.
Уравнение
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
имеет очевидное решение
![$X=1,Y=m^2$ $X=1,Y=m^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/6/206cfbaef2181dd091dbf42c9a22257482.png)
.
На кривой
![$(5)$ $(5)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/b/60b0118e989d5e395df5d657af0c264882.png)
этому решению соответствует рациональная точка
![$P=(u,w)=(2m^2+2,4m^2+4)$ $P=(u,w)=(2m^2+2,4m^2+4)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/a/63ae277b1834a81cd0e73f49a71ec19c82.png)
- используем
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
Точке
![$2P=(m^4,-m^2(m^4-2))$ $2P=(m^4,-m^2(m^4-2))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/6/536d2549897d12b6c0f2588c4f2b0acd82.png)
на кривой
![$(5)$ $(5)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/b/60b0118e989d5e395df5d657af0c264882.png)
соответствует решение уравнения
![$X=\dfrac{m^4-2}{2m^2}, Y=\dfrac{m^8+4m^4-4}{4m^4}$ $X=\dfrac{m^4-2}{2m^2}, Y=\dfrac{m^8+4m^4-4}{4m^4}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/c/c9c267e4557f81d2deae1fb221cae64282.png)
- используем
![$(3)$ $(3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/3/cf330257519e06f13c2ecab5e25c6d2a82.png)
.
Это решение в переменных
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
, которое мною было приведено ранее.
Точно так же уравнение
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
имеет очевидное решение
![$X=1/m, Y=\dfrac{2m^4-1}{m^2}$ $X=1/m, Y=\dfrac{2m^4-1}{m^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/d/70d5cb075dc9504086db1ab4e065f63582.png)
. В переменных
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
оно и было приведено.
На второй эллиптической кривой
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
этому решению соответствует рациональная точка
![$Q=(u,w)=(4m^2,8m)$ $Q=(u,w)=(4m^2,8m)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/2/56266119c85be5aa07b0bc59b996e43e82.png)
.
Далее можно продолжать:
![$2Q=\left(\dfrac{(2m^4-1)^2}{m^2},-\dfrac{(2m^4-1)(4m^8-4m^4-1)}{m^3}\right)$ $2Q=\left(\dfrac{(2m^4-1)^2}{m^2},-\dfrac{(2m^4-1)(4m^8-4m^4-1)}{m^3}\right)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/9/14958c82b92b3b795cb32c79fbdfaf6082.png)
и эта точка дает новое решение для уравнения
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
и т.д.
Что касается доказательства существования решений без их нахождения, то это, в принципе, возможно для конкретного
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
.
В данном случае можно даже доказать, что для всех целых
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
эллиптические кривые
![$(5),(6)$ $(5),(6)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/d/76d9bb727bb0e2f39b67a1eea4144f3682.png)
несут на себе бесконечное множество рациональных
точек. При доказательстве можно использовать, например, то обстоятельство, что точки
![$3P$ $3P$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/a/7ca19db471c1d31e167f1452d6ed469c82.png)
и
![$2Q$ $2Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/3/9a3a0a92c2227614cc453392dec1c35e82.png)
не яваляются целыми.