Можно ли 10 различных натуральных чисел расставить по окружности таким образом, что сумма любых двух рядом стоящих чисел будет степенью двойки? (С. Берлов)
Думаю, нет:Так как числа попарно различны, среди них существует единственное наибольшее, назовём его
.
Справа и слева от
стоят два разных числа (назовём их
и
), поскольку всего чисел 10 (а значит, больше двух) и все они, опять же, попарно различны.
По очереди складывая
с его правым и левым соседями, получаем две суммы (
и
), каждая из которых превышает
(так как все числа положительны), но меньше, чем
(так как
- единственное наибольшее число).
Но эти две суммы (
и
) должны быть двумя различными степенями двойки (я так понимаю, автор имел в виду степень двойки с ЦНП - целым неотрицательным показателем), а это значит, что они не могут обе попадать в промежуток между
и
.
Полученное противоречие доказывает невозможность построения требуемой в задаче конструкции.
Верно ли моё решение и есть ли другие?
