Запаяная трубка, движущаяся по окружности

[svv]

Формула для $p$ годится и в инерциальной СО. Будем считать, что мы всё делали в ней.
Но результат не зависит от угловой скорости. Причём $\omega$ точно была, но потом исчезла. И результат такой, как будто платформа и не вращается. Очень странно и интересно.

Пожалуйста, попытайтесь сказать, при каких условиях $\omega$ будет исчезать при нахождении разности давлений. Для любых ли пар точек слагаемые с $\omega$ будут сокращаться? При каком условии это будет происходить? (координаты, координаты...)

[stedent076]

svv
Давайте завтра?) Примерно в 22.00 по Мск.

[svv]

Согласен отложить, но не обещаю, что буду онлайн в это время. Напишите ответ — посмотрим.

[svv]

Берём две точки: $(r_1, \varphi_1, z_1)$ и $(r_2, \varphi_2, z_2)$. Находим разность давлений:

$$\begin{array}{rc}p_1=&\rho(\frac 1 2\omega^2 r_1^2-gz_1)+C\\p_2=&\rho(\frac 1 2\omega^2 r_2^2-gz_2)+C\\p_1-p_2=&...\end{array}$$

The question is: когда разность не будет зависеть от $\omega$ ?

[stedent076]

svv
когда $r_2^2-r_1^2=0$, т.е. в нашем случае, когда трубка достаточно тонкая.

[svv]

Во-первых, надо упростить: $r_1=r_2$. Во-вторых, причём тут тонкость, я не очень понял. Тонкая трубка может быть наклонной либо изогнутой, как у нас, тогда есть точки, у которых $r_1\neq r_2$, например, концы трубки.

$r_1$ и $r_2$ — это радиальная координата (одна из трёх цилиндрических координат), соответственно, первой и второй точки. Обозначает расстояние от точки до оси $Oz$. Вводилась здесь. Обычно эта координата обозначается $\rho$, но буква $\rho$ занята (плотность масла). Приходится писать $r$.

Самый важный для нас случай, когда $r_1=r_2$ — это когда у обеих точек различаются только координаты $z$, то есть когда точки находятся на одной вертикали (в обычном понимании слова). Пример — поверхность масла и изгиб трубки. (Но не оба конца трубки.)

Итак, если две точки находятся на одной вертикальной прямой, разность давлений масла в них не зависит от угловой скорости вращения. То есть разность такая, как при отсутствии вращения.

А теперь попытайтесь объяснить это утверждение (дающее, фактически, ответ на вопрос задачи) с помощью законов физики.

[stedent076]

svv в сообщении #1153318 писал(а):

Самый важный для нас случай, когда $r_1=r_2$ — это когда у обеих точек различаются только координаты $z$, то есть когда точки находятся на одной вертикали

Ну так я и написал, что $r_2^2-r_1^2=0$. Из $r_1>0$ и $r_2>0$ следует, что $r_1=r_2$ Может быть я не совсем точно выразился, извините.

[svv]

Хорошо.
Точки могут ещё различаться угловой координатой $\varphi$, тогда и при $r_1=r_2$ они не будут на одной вертикали. Но мы пока рассматриваем только одну вертикальную трубку, так что это не наш случай.

Самое важное — вот это:

svv в сообщении #1153318 писал(а):

Итак, если две точки находятся на одной вертикальной прямой, разность давлений масла в них не зависит от угловой скорости вращения. То есть разность такая, как при отсутствии вращения.

А теперь попытайтесь объяснить это утверждение (дающее, фактически, ответ на вопрос задачи) с помощью законов физики.

[stedent076]

svv
Потому что две капельки масла находящиеся на одной вертикальной прямой за время $t$ сместятся на одну и ту же величину. Причем, траектории их движения будут параллельны между собой и плоскостью вращения, что для расчета разности давления было бы равносильно нахождению их на месте без вращения диска, т.к. расстояние между ними останется прежним.

[wrest]

Прошу прощения, а картинка будет?

[stedent076]

http://savepic.net/8446489.htm

[wrest]

Раз ничего никуда не выливается и под действием давления ничего никуда не двигается, значит на границе раздела масла и воды давление атмосферное.
Ну понятно, что поверхность масла при этом перпендикулярна не направлению силы тяжести (т.е. не горизонтальна), а...
Но поскольку трубка вертикальна, то...

Дальше, насколько я понял svv, надо чтобы ТС додумал сам.

[svv]

wrest в сообщении #1153351 писал(а):

надо чтобы ТС додумал сам

Ну, это идеальный вариант...

stedent076 в сообщении #1153330 писал(а):

Потому что две капельки масла находящиеся на одной вертикальной прямой за время $t$ сместятся на одну и ту же величину. Причем, траектории их движения будут параллельны между собой и плоскостью вращения

Понимаю! Скажу больше — у двух капелек равные скорости и даже ускорения!

stedent076 в сообщении #1153330 писал(а):

что для расчета разности давления было бы равносильно нахождению их на месте без вращения диска, т.к. расстояние между ними останется прежним.

А вот тут — не очень. Сильно изменится при вращении расстояние между двумя выбранными капельками в нижней, горизонтальной части трубки? А там вращение очень даже влияет на давление. Вообще, считайте, что жидкости практически несжимаемы (и «неразжимаемы»).

Чтобы ответить, подумайте, а как вообще возникает в вертикальной трубке в отсутствие вращения простейшая зависимость $p=p_0+\rho g h$, где $h$ — глубина, $p_0$ — давление на поверхности.

[stedent076]

svv

svv в сообщении #1153403 писал(а):

$p=p_0+\rho g h$,

Это можно записать как $p=p_0+\dfrac{F_{\text{тяж.}}}{S}=\dfrac{m\vec{g}}{S}+p_0$
В нашем примере поверхность масла перпендикулярна вектору $a_1$, где $a_1=\vec{g}+\vec{a}$. Поверхность масла находится под наклоном. Этот "наклон" будет одинаков для каждого слоя масла в точках, находящихся на одной вертикальной прямой.Наклон дает определенное приращение давления, но для капелек на верт. прямой этот вклад будет одинаков, поэтому разность давлений не будет от него зависеть Мб я грубо описываю, но интуитивно, кажется, понимаю ответ на Ваш вопрос. Как-то так.

[svv]

stedent076 в сообщении #1153656 писал(а):

Это можно записать как $p=p_0+\dfrac{F_{\text{тяж.}}}{S}=\dfrac{m\vec{g}}{S}+p_0$

OK, только надо проговорить примерно такие слова. Рассмотрим столб (цилиндр) жидкости высотой $h$, ограниченный сверху и снизу горизонтальными плоскостями и боковой поверхностью. Пусть $\mathbf e_z$ — единичный вектор, направленный вертикально вверх. Какие силы действуют на этот цилиндр?
$\bullet$ сила тяжести $m\mathbf g=-\mathbf e_z\rho g h S$
$\bullet$ сила, обусловленная давлением на
— верхнее основание: $-\mathbf e_z p_0 S$
— нижнее основание: $+\mathbf e_z p S$
— на боковую поверхность: $\mathbf P_{\text{бок}}$
По второму закону Ньютона
$\sum \mathbf F=m\mathbf a=0$

Из уравнения следует, что сумма проекций всех сил на ось $Oz$ также равна нулю:
$-\rho g h S-p_0 S+p S+P_{\text{бок}\;z}=0$
Сила давления жидкости на малый участок поверхности перпендикулярна этому участку. Для малых участков боковой поверхности это означает, что сила направлена горизонтально и её проекция на ось $Oz$ равна нулю. Тогда и $P_{\text{бок}\;z}=0$. Вот что остаётся:
$-\rho g h S-p_0 S+p S=0$,
откуда, сокращая на $S$,
$p=\rho g h+p_0$
Если всё понятно, скажите, что понятно.