Запаяная трубка, движущаяся по окружности

[wrest]

Я думаю так, что как только решится вопрос с давлением в месте сгиба, нужно приступать к главному - давлению в месте запаянного конца.

[stedent076]

svv

svv в сообщении #1153670 писал(а):

— верхнее основание: $-\mathbfe_zp_0S$

Это верно, так как давление равно атмосферному и его сила направлена противоположно вектору $\mathbf e_z$

svv в сообщении #1153670 писал(а):

нижнее основание: $+\mathbf e_z p S$

Непонятно, почему знак +

svv в сообщении #1153670 писал(а):

Из уравнения следует, что сумма проекций всех сил на ось $Oz$ также равна нулю.

$(F_1+F_2+...+F_n)=0\Leftrightarrow (kF_1+kF_2+...+kF_n)=0\Leftrightarrow k(F_1+F_2+...+F_n)=0$
где $k$– косинус угла между осью $z$ и проецируемыми силами.[

Если на повседневно-пигмейском:
Угловое ускорение вносит некое изменение в давление в трубке, но так как,

svv в сообщении #1153670 писал(а):

$P_{\text{бок}\;z}=0$

то это изменение мы можем не учитывать

[svv]

stedent076 в сообщении #1153688 писал(а):

Непонятно, почему знак +

Мы рассматриваем силы, которые действуют на выделенный цилиндр, а не силы, с которыми он действует на другие тела. Стало быть, на нижней поверхности это сила, с которой та жидкость, на которую цилиндр опирается, давит на него снизу вверх (а направление вверх считается положительным) и не даёт ему упасть.

-- Чт сен 22, 2016 22:47:09 --

stedent076 в сообщении #1153688 писал(а):

Если на повседневно-пигмейском:
Угловое ускорение вносит некое изменение в давление в трубке, но так как, svv в сообщении #1153670

писал(а):
$P_{\text{бок}\;z}=0$ то это изменение мы можем не учитывать

Вот! Ради этой фразы всё и было затеяно. Моя формулировка. Проекция центростремительного ускорения на ось $Oz$ равна нулю, поэтому оно не влияет на баланс $z$-проекций сил, который и определяет зависимость давления от $z$ в вертикальной части трубки.

Всё. Моя задача выполнена.

[stedent076]

svv
Ну я это и имел ввиду в первом ответе.Скажите, а как получилось ДУ, описывающее давление? И можете популярно объяснить, что такое градиент функции?

[svv]

Градиент скалярной функции $f(x,y,z)$ — это вектор, зависящий от точки.
Он в каждой точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции,
а его модуль равен скорости возрастания (т.е. производной от функции по пути в указанном направлении).
Например, в комнате, где стоит обогреватель, градиент температуры направлен (примерно) к обогревателю. А модуль этого вектора равен приросту температуры в градусах на единицу длины (в смысле производной, конечно).

Обозначается градиент так: $\nabla f$ или так: $\operatorname{grad}f$.

Интересно (и почти очевидно), что градиент направлен перпендикулярно линиям (в 2d) или поверхностям (в 3d) уровня функции, то есть линиям/поверхностям, на которых функция имеет одно и то же значение.

Например, если на карте высота земной поверхности обозначена горизонталями, то градиент высоты в каждой точке
$\bullet$ перпендикулярен горизонтали, проходящей через эту точку;
$\bullet$ направлен в сторону увеличения высоты;
$\bullet$ по модулю равен скорости роста высоты на единицу длины (т.е. чем круче подъем, тем больше градиент).
На гладкой вершине холма градиент высоты равен нулю. Аналогично — в самой нижней точке низины.

Так как градиент — вектор, он в трёхмерном пространстве имеет три компоненты. В декартовых координатах эти компоненты равны частным производным от функции $f$ по соответствующей координате: $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}$.

[stedent076]

svv
Это понятно, спасибо. А как получается ДУ, описывающее разность давлений и почему Вы использовали именно градиент?

[svv]

ДУ получается так. В области, заполненной жидкостью, выделим некоторую внутреннюю подобласть $G$ (не обязательно малую, не обязательно шар или параллелепипед). Рассмотрим, какие силы действуют на $G$. Их две:
$\bullet$ сила тяжести: $\int\limits_G \rho\mathbf g\;dV$
$\bullet$ сила, с которой жидкость снаружи давит на поверхность: $\oint\limits_{\partial G}(-p\mathbf n)\;dS$
В последнем интеграле $\partial G$ означает «граница $G$», это замкнутая поверхность, по которой и берётся интеграл. Вектор $\mathbf n$ — это вектор единичной нормали к поверхности (зависит от точки). По соглашению, это вектор внешней нормали, то есть направлен наружу. Давление $p$, как известно, — это поверхностная плотность силы. Чтобы получить векторную плотность силы, надо умножить скаляр на единичный вектор направления действия силы $(-\mathbf n)$, направленный внутрь области перпендикулярно границе.

Собственно вывод. Если жидкость находится в равновесии, сумма сил равна нулю:
$\int\limits_G \rho\mathbf g\;dV-\oint\limits_{\partial G}p\mathbf n\;dS=0$
Ко второму интегралу применяем одну из интегральных теорем — «теорему о градиенте»:
$\oint\limits_{\partial G}p\mathbf n\;dS=\int\limits_G \operatorname{grad}p\; dV$
Это позволяет преобразовать поверхностный интеграл в объёмный (в котором автоматически фигурирует градиент). Получаем:
$\int\limits_G (\rho\mathbf g-\operatorname{grad}p)\;dV=0$
В силу произвольности выбора $G$ заключаем, что подинтегральная функция равна нулю, то есть
$\operatorname{grad}p=\rho\mathbf g$

В выводе не предполагалось, что $\rho$ и $\mathbf g$ постоянны, поэтому результат распространяется и на случаи, когда роль ускорения свободного падения играет, например, $\mathbf g-\mathbf a$. Важно только, чтобы силы были потенциальными, иначе никакое давление не обеспечит равновесия и будут вихри.

Мне вывод именно в такой форме кажется очень красивым. Я понимаю, что он может быть сейчас непонятен. Обычно рассматривают бесконечно малые кубики и т.д., тогда это доступно и первокурснику. Но для меня это всё равно, что распилить на кубики статую Афродиты.

[stedent076]

svv
буду ботать

[stedent076]

svv

Цитата:

Ко второму интегралу применяем одну из интегральных теорем — «теорему о градиенте»:
$\oint\limits_{\partial G}p\mathbf n\;dS=\int\limits_G \operatorname{grad}p\; dV$
Это позволяет преобразовать поверхностный интеграл в объёмный (в котором автоматически фигурирует градиент). Получаем:
$\int\limits_G (\rho\mathbf g-\operatorname{grad}p)\;dV=0$
В силу произвольности выбора $G$ заключаем, что подинтегральная функция равна нулю, то есть
$\operatorname{grad}p=\rho\mathbf g$

В выводе не предполагалось, что $\rho$ и $\mathbf g$ постоянны, поэтому результат распространяется и на случаи, когда роль ускорения свободного падения играет, например, $\mathbf g-\mathbf a$. Важно только, чтобы силы были потенциальными, иначе никакое давление не обеспечит равновесия и будут вихри.

Вот это я не понял

[svv]

Пожалуйста, уточните, что именно.

Есть целое семейство интегральных теорем, из которых самыми известными, пожалуй, являются теорема Гаусса-Остроградского и Стокса (о роторе). Вы можете посмотреть на них, например, в справочнике Корна по математике на с. 175. Интегральные теоремы позволяют преобразовывать поверхностные интегралы в объёмные (и не только). Одной из таких я воспользовался: интеграл $\oint\limits_{\partial G}p\mathbf n\;dS$ имеет точно такой вид, какой требуется теоремой о градиенте.

Если о теореме Гаусса-Остроградского Вы не слышали, тогда приводить дальнейшие подробности, наверное, смысла не имеет.

[stedent076]

svv
Спасибо, посмотрю в справочнике вечером. О теореме Гаусса-Остроградского я слышал. Всмысле читал формулировку и доказательство, но доказателство не строгое , а рассчитаное на широкий круг читалей.

[mihiv]

Хотя формально давление в месте изгиба не зависит от угловой скорости вращения, нужно иметь в виду, что при достаточно большой угловой скорости жидкость начнет переходить в вертикальную часть трубки, пока не будет достигнуто новое положение равновесия и ,соответственно, новое значение давления.