Симметрия полных волновых функций многочастичных систем

[Osmiy]

warlock66613 в сообщении #1152501 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152494 писал(а):

Это и есть значения координат

Ну хорошо, что тогда значит "поменять только значения координат"? Кроме них и менять нечего.

Объясняю.
Возьмём двух электронную одномерную систему с одинаковыми спинами, чтобы при перестановке на него вообще внимание не обращать.
Пусть 1 электрон находиться в состоянии $1s$, а второй в состоянии $2s$. Задавая состояние электрона мы задаем конкретные значения их квантовых чисел.
Пусть 1 электрон находится в координате 0.123, а второй в координате 0.333. Пусть значение ВФ при таких значениях координат равна 0.5. Запишем это кратко:
$1s-0.123$
$2s-0.333$
$\Psi=0.5$

Теперь физически обменяем электроны. Т.е. поменяем им квантовые числа и координаты. Обмен квантовыми числами означает, что они поменяются состояниями. Будем иметь
$2s-0.333$
$1s-0.123$
$\Psi=-0.5$

Теперь поменяем им только координаты и спин как это делают в учебниках по квантам. Спин у них одинаков, так что это эквивалентно только смене координат.
$1s-0.333$
$2s-0.123$
$\Psi=-0.5$

В книгах про кванты пишут что это будет состояние эквивалентное начальному состоянию (только знак должен поменяться). Я не понимаю почему. Вот.

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1152509 писал(а):

Пусть 1 электрон находиться в состоянии $1s$, а второй в состоянии $2s$. <...>Пусть 1 электрон находится в координате 0.123, а второй в координате 0.333

Такого не бывает. Либо у вас электрон находится в состоянии 1s, либо в состоянии "координата равна 0.123", но никак не то и другое сразу. Это всё равно, что сказать "пусть я нахожусь в Лондоне и Москве".

[Metford]

Osmiy в сообщении #1152509 писал(а):

Задавая состояние электрона мы задаем конкретные значения их квантовых чисел.

Зря Вы не читаете то, что Вам Munin говорит по поводу квантовых чисел, зря...

[arseniiv]

Osmiy
Вы функцией системы, случайно, не делаете $\lvert 1s\rangle\otimes\lvert 2s\rangle$?

(Оффтоп)

Osmiy в сообщении #1152478 писал(а):

А что у атома фермия есть разные электронные состояния, но при этом набор энергий, импульсов и моментов электронов совпадают?

Сначала вы говорили, что системы из ста электронов никто не обнаружил. Я вам привёл. Как она связана с предыдущим высказыванием (об энергии, импульсе, моменте импульса и квантовом состоянии), вы не поясняли, так что я пока считаю, что никак, и не говорил о нём. Яснее надо выражаться.

[Munin]

Osmiy в сообщении #1152509 писал(а):

Пусть 1 электрон находится в координате 0.123, а второй в координате 0.333.

Нет, не пусть. Вы только что сказали, что они в состояниях $1s$ и $2s.$ Это означает, что они ни в каких координатах не находятся. Они находятся самое лучшее в орбиталях, нарисованных в учебнике химии.

Отсюда видно ваше непонимание. Вы думаете, что квантовое число - это что-то, что у электрона в кармане, а с этим карманом он разгуливает по координатам.

Нетушки. Прочитайте внимательно теорию атома водорода. Электрон размазан по в.ф. Он ни по каким координатам не гуляет. Он как целое есть нечто в пространстве. И это целое - имеет некоторую форму, которую можно условно перенумеровать несколькими цифрами, потому что оно имеет довольно простую форму.

И когда речь о симметрии, то речь о симметрии именно в.ф. Причём что хуже - двухчастичной. Она даже уже не в нашем трёхмерном пространстве, а в шестимерном конфигурационном.

[Osmiy]

warlock66613 в сообщении #1152512 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152509 писал(а):

Пусть 1 электрон находиться в состоянии $1s$, а второй в состоянии $2s$. <...>Пусть 1 электрон находится в координате 0.123, а второй в координате 0.333

Такого не бывает. Либо у вас электрон находится в состоянии 1s, либо в состоянии "координата равна 0.123", но никак не то и другое сразу. Это всё равно, что сказать "пусть я нахожусь в Лондоне и Москве".

Бывает. Просто говоря координата электрона, находящегося в таком-то состоянии, я имею ввиду значение координаты у волновой функции, описывающей данное состояние электрона. Вот.
(Ну а сама функция содержит в себе информацию о тех, самых квантовых числах.)

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1152516 писал(а):

Просто говоря координата электрона, находящегося в таком-то состоянии, я имею ввиду значение координаты у волновой функции, описывающей данное состояние электрона. Вот.

Я не знаю, что вы имеете в виду, так как не могу залезть вам в голову. Я читаю то, что вы пишете, и отвечаю на то, что вы пишете. Того, что вы написали, не бывает. Можете попробовать сформулировать свою мысль ещё раз.

[Osmiy]

arseniiv в сообщении #1152514 писал(а):

Osmiy
Вы функцией системы, случайно, не делаете $\lvert 1s\rangle\otimes\lvert 2s\rangle$?

Если это обозначение обозначает произведение одноэлектронных функций, то нет.

[warlock66613]

Osmiy, на всякий случай подчеркну ещё раз (так как теперь очевидно, что именно в этом и кроется ваше непонимание). Утверждение "электрон находится в состоянии 1s" полностью описывает состояние электрона, в том числе и где он находится. Никакой координаты мы к этому состоянию дополнительно присоединить не можем.

-- 19.09.2016, 02:02 --

Иначе говоря, волновая функция, вообще говоря, не предполагает, что вы будете подставлять в качестве её аргумента какие-то конкретные значения. Состояние (в том числе местонахождение) электрона описывается самой этой функцией, а не её значениями.

[Osmiy]

warlock66613 в сообщении #1152518 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152516 писал(а):

Просто говоря координата электрона, находящегося в таком-то состоянии, я имею ввиду значение координаты у волновой функции, описывающей данное состояние электрона. Вот.

Я не знаю, что вы имеете в виду, так как не могу залезть вам в голову. Я читаю то, что вы пишете, и отвечаю на то, что вы пишете. Того, что вы написали не бывает. Можете попробовать сформулировать свою мысль ещё раз.

Попытка номер два.

Объясняю.
Возьмём двух электронную одномерную систему с одинаковыми спинами, чтобы при перестановке на него вообще внимание не обращать.
Пусть полная ВФ описывает такое состояние системы, в котором один электрон находится в состоянии $1s$, а другой в состоянии $2s$. Т.е. мы имеем функцию двух координат. Причем при интегрировании квадрата ВФ по второй координате мы получим электронную плотность (ЭП) качественно совпадающую с ЭП $1s$ состояния в одноэлектронном атоме. А при интегрировании по первой координате получим ЭП совпадающую с ЭП 2s состояния. Т.е. можно сказать что первая и вторая координаты принадлежат электронам, находящимся в соответствующих состояниях.
Пусть первая координата имеет значение 0.123, а вторая 0.333. Пусть значение ВФ при таких значениях координат равна 0.5. Запишем это кратко:
$1)1s -0.123$
$2)2s -0.333$
$\Psi=0.5$

Теперь физически обменяем электроны. Т.е. поменяем значения координат в ВФ местами, и поменяем зависимость описываемых координатами состояний от порядка координат. Будем иметь
$1)2s -0.333$
$2)1s -0.123$
$\Psi=-0.5$

Теперь поменяем в ВФ только значения координат
$1)1s -0.333$
$2)2s -0.123$
$\Psi=-0.5$

В книгах про кванты пишут что значение ВФ функции при этом будет прежним (только знак должен поменяться). Я не понимаю почему. Вот.

[madschumacher]

Osmiy в сообщении #1152528 писал(а):

Причем при интегрировании квадрата ВФ по второй координате мы получим электронную плотность (ЭП) качественно совпадающую с ЭП $1s$ состояния в одноэлектронном атоме. А при интегрировании по первой координате получим ЭП совпадающую с ЭП 2s состояния.

Неправильно. Грубо говоря, электронная плотность будет суммой квадратов 1s и 2s.

[arseniiv]

Osmiy в сообщении #1152520 писал(а):

Если это обозначение обозначает произведение одноэлектронных функций, то нет.

Да, $\otimes$ — это тензорное произведение векторов. Если состояния квантовой штуки 1 берутся из векторного пространства $V_1$, а состояния квантовой штуки 2 — из $V_2$, то состояния системы, состоящей из 1 и 2, берутся из тензорного произведения $V_1\otimes V_2$, элементы которого представимы суммами всяческих тензорных произведений вида $v_1\otimes v_2,v_i\in V_i$. Эти произведения линейны по каждому аргументу, только вот в общем случае некоммутативны. Для функций одного аргумента $(f\otimes g)(x_1,x_2) = f(x_1)g(x_2)$.

Osmiy в сообщении #1152528 писал(а):

Причем при интегрировании квадрата ВФ по второй координате мы получим электронную плотность (ЭП) качественно совпадающую с ЭП $1s$ состояния в одноэлектронном атоме. А при интегрировании по первой координате получим ЭП совпадающую с ЭП 2s состояния.

А я только обрадовался ответу «нет» о перемножении, подразумевая, что вы антисимметризовали. Кошмар. Предупреждать надо!

[madschumacher]

Osmiy в сообщении #1152528 писал(а):

Т.е. можно сказать что первая и вторая координаты принадлежат электронам, находящимся в соответствующих состояниях.

Ну и соответственно, так сказать нельзя. Корень зла у Вас в том, что Вы пытаетесь приписать электронам определенные состояния по отдельности. Но электроны все вместе находятся в одном совместном электронном состоянии. А эти "квантовые числа", " молекулярные/натуральные и т.д. орбитали" можете считать вычислительными хитростями. В них сильно фундаментального смысла нет.

[Osmiy]

Munin в сообщении #1152503 писал(а):

Да сколько угодно. Электроны в бензоле, например.

Там же нет электронов с совпадающими значениями энергии, импульсов и моментов (включая и их проекции).
Тьфу блин сбили меня с мысли. У него же нет разных электронных состояний, в которых было бы совпадение этих параметров.

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1152528 писал(а):

Пусть первая координата имеет значение 0.123, а вторая 0.333.

Стоп. Какая координата, координата чего?

Osmiy в сообщении #1152528 писал(а):

Теперь физически обменяем электроны. Т.е. поменяем значения координат в ВФ местами

Нет, это не то, что подразумевает "физический обмен электронов". Обмен электронов подразумевает, что вы берёте функцию $\Psi(x_1,x_2)$ и (грубо говоря) меняете в ней местами символы $x_1$ и $x_2$. Так, если у вас была функция $\Psi(x_1, x_2) = e^{k(x_2-x_1)} - e^{-k(x_2-x_1)}$, то в результате обмена получится функция $\Psi_{\text{обмен}}(x_1, x_2) = e^{k(x_1-x_2)} - e^{-k(x_1-x_2)} = - \Psi(x_1, x_2)$.