Найти предел функции.

[Aritaborian]

usr404, давайте лучше полностью с самого начала, если вам несложно.

[usr404]

Otta
Как я понимаю, этим вы хотите сказать, что $\sin x \neq \sin \frac {x}{2} \cdot 2$ ?
Aritaborian
$\lim \limits _{x \to 0} \frac {1- \cos x}{2x \sin x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac{2 \sin^{2}( \frac{x}{2})}{2x \sin x} =\lim \limits _{x \to 0} \frac{ \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{x\cdot \sin x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac{ \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}\cdot 2 \cdot \sin x} =\lim \limits _{x \to 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \sin x} =\frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x} $
Что делать дальше, чтобы применить 1-й замечательный предел и получить $\frac {1}{2}$ справа не знаю...

[Otta]

usr404 в сообщении #1152133 писал(а):

Как я понимаю, этим вы хотите сказать, что $\sin x \neq \sin \frac {x}{2} \cdot 2$ ?

Я хочу сказать, что $2\sin x$ и $\sin 2x$ - это не одно и то же.
Еще я хочу сказать, что очень важно, чтобы Вы понимали приоритетность операций в Вашей же записи: вот этот знак умножения к чему относится, у Вас синус на 2 умножается или аргумент синуса?
Иначе складывается впечатление, что Вы разрешаете сокращать себе, как в моем примере, чуть ли не посимвольно.

-- 18.09.2016, 13:58 --

usr404 в сообщении #1152133 писал(а):

Что делать дальше, чтобы применить 1-й замечательный предел

Ну например, тригонометрию вспомнить.

[usr404]

Otta
Так?
$\lim \limits _{x \to 0} \frac {1- \cos x}{2x \sin x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac{2 \sin^{2}( \frac{x}{2})}{2x \sin x} =\lim \limits _{x \to 0} \frac{ \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{x\cdot \sin x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac{ \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}\cdot 2 \cdot \sin x} =\lim \limits _{x \to 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \sin x} =\frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x} = \frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{1}{2 \cos \frac{x}{2}} =\frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{1}{2 \cos \frac{0}{2}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

[provincialka]

Otta в сообщении #1152135 писал(а):

Ну например, тригонометрию вспомнить.

Конечно, невредно поучить ТС тригонометрии... но как раз в задачах на первый замечательный без нее можно обойтись.

usr404 в сообщении #1152106 писал(а):

$\frac{1}{2} \lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x} = \frac{1}{2} \lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x}\cdot\frac xx = \frac{1}{2} \lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x}\cdot\frac {x}{2\frac x2} = \frac{1}{2} \lim \limits _{x \to 0}\frac 12\cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac x2}\cdot\frac {x}{\sin x} =...$

-- 18.09.2016, 14:02 --

И вообще решение было почти найдено уже в начале первого поста:
$...=\lim\limits_{x \to 0} \frac {\sin^{2}x}{(2x \sin x)(1 + \cos x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac {\sin x \sin x}{(2x \sin x)(1 + \cos x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac {\sin x}{x\cdot 2(1 + \cos x)}=...$
Тут уже первый замечательный виден невооруженным глазом!

[Otta]

provincialka в сообщении #1152183 писал(а):

Конечно, невредно поучить ТС тригонометрии... но как раз в задачах на первый замечательный без нее можно обойтись.

Конечно. Но на этой стадии мне уже этот способ показался быстрее, чем про дважды замечательный объяснять :)

usr404 в сообщении #1152182 писал(а):

Так?

Да, я имела в виду это. Все верно. Второй способ посмотрите тоже, он часто встречается.

[usr404]

provincialka

Цитата:

И вообще решение было почти найдено уже в начале первого поста:

Да, точно. Опыта мало в решении подобных задачек, поэтому, наверное, не заметил...
Otta
Напишу в чистовике второй способ, он как-то попроще выглядит.

Ну и вообще, всем большое спасибо, кто отписался в этой теме и дал советы по решению...