Найти предел функции.

[usr404]

Добрый вечер. Учусь на заочке, 1-й курс... Дали на дом решить нижеприведенный предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
$$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{2x \sin x}$
Подстановка вместо $x$ нуля приводит к неопределённости $\frac{0}{0}$...
Почитал в интернете, как решаются подобные задачки... Как я понял, нужно привести выражение к первому замечательному пределу, но у меня что-то никак не получается.
Вот мои тщетные попытки:
$$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{2x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1- \cos x)(1 + \cos x)}{(2x \sin x)(1 + \cos x)} =\lim_{x \to 0} \frac {\sin^{2}x}{(2x \sin x)(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac {\sin x \sin x}{(2x \sin x)(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac {\sin x \sin x}{(2x \sin x + 2x \sin x \cos x)}$
Что дальше делать, не знаю... Вот еще попытка:
$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{2x \sin x} = \lim_{x \to 0}\frac{2 \sin^{2}(\frac{x}{2})}{2x \sin x} = \lim_{x \to 0}\frac{2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{2x \sin x} = 2 \lim_{x \to 0}\frac{ \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{2x \sin x}$ Тут тоже тупик.
Потратил на решение этой задачки почти целый день, но всё как рыба об лёд...
Буду очень благодарен, если кто-то поможет.

[demolishka]

usr404 в сообщении #1151973 писал(а):

$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{2x \sin x} = \lim_{x \to 0}\frac{2 \sin^{2}(\frac{x}{2})}{2x \sin x}$

Вы задачу-то почти решили. Осталось увидеть первый замечательный предел.

[provincialka]

usr404 в сообщении #1151973 писал(а):

$\lim_{x \to 0} \frac {\sin^{2}x}{(2x \sin x)(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac {\sin x \sin x}{(2x \sin x)(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac {\sin x \sin x}{(2x \sin x + 2x \sin x \cos x)}$

Дурная привычка раскрывать без надобности скобки, особенно в знаменателе! У вас же в предпоследнем выражении синус сокращается!
То есть он и в первом сокращается, но во втором этого трудно не заметить!

[usr404]

demolishka в сообщении #1151985 писал(а):

usr404 в сообщении #1151973 писал(а):

$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{2x \sin x} = \lim_{x \to 0}\frac{2 \sin^{2}(\frac{x}{2})}{2x \sin x}$

Вы задачу-то почти решили. Осталось увидеть первый замечательный предел.

Спасибо за ответ и извините за тупость, но возможности применить 1-й замечательный предел конкретно на этом этапе я не вижу... Нужны ли еще какие-то преобразования?

[Slav-27]

usr404
Очень простые: разбить на множители и подомножать числители и знаменатели на одно и то же.

[Aritaborian]

(ТеХническое)

usr404, чтобы предел выглядел красиво, набирайте так: \lim \limits _{x \to 0} f(x)

[usr404]

Aritaborian
Понял, учту.
Slav-27
Подскажите, пожалуйста, что я не так делаю?
$\lim \limits _{x \to 0} \frac{2 \sin^{2}( \frac{x}{2})}{2x \sin x} =\lim \limits _{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{2x \sin x} =\lim \limits _{x \to 0} \frac{4 \sin x \sin x}{4x \sin x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac{4 \sin x \sin x}{4 \sin x\cdot x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

[Sinoid]

Как-то странно перешли от второго равенства к третьему. Вообще, я бы стремился не к целому икс, а к его половине с самого начала.

[usr404]

Кто-нибудь проверьте, пожалуйста, верна ли моя шизофазия? Никаких других идей у меня уже нет...
$\lim \limits _{x \to 0} \frac{2 \sin^{2}( \frac{x}{2})}{2x \sin x} =\lim \limits _{x \to 0} \frac{ \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{x\cdot \sin x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac{ \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}\cdot 2 \cdot \sin x} =\lim \limits _{x \to 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \sin x} =\frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x} = \frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{(\sin \frac{x}{2})^{2}}{{(\sin x)}^{2}} = \frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0}\frac{\frac{1- \cos x}{2}}{\sin^{2}} = \frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0}\frac{1- \cos x\sin^{2}x}{2} = \frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac {1}{4}$

В третьем равенстве $\sin \frac{x}{2}$ в числителе и $\frac {x}{2}$ в знаменателе стремятся к 1 (по свойству первого замечательного предела), поэтому я их "сократил".

[demolishka]

usr404 в сообщении #1152025 писал(а):

$\lim \limits _{x \to 0} \frac{2 \sin^{2}( \frac{x}{2})}{2x \sin x} =\ldots =\frac{1}{2}\lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x}$

Уже лучше. Осталось вновь увидеть первый замечательный предел.

[usr404]

demolishka
Так будет правильно?
$\frac{1}{2} \lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x} = \frac{1}{2} \lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}\cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

[Otta]

usr404 в сообщении #1152106 писал(а):

Так будет правильно?

Это может быть и правильно, и неправильно. Из каких соображений у Вас получилась $\frac12\cdot\frac 12$?

[usr404]

Otta
Первая дробь стояла за пределом, вторая дробь получилась после сокращения $\sin \frac {x}{2}$

[Aritaborian]

(Блин, не удержался, бан мне на сутки)

usr404, вы почти у цели. «Котик, миленький, ну ещё капельку!»

[Otta]

usr404
Это так, да?
$\dfrac{\sin 2\pi}{\sin 3\pi}=\dfrac{\sin \pi \cdot 2}{\sin \pi\cdot 3}=$... сокращаем, да? $= \dfrac{2}3$.