Чудесное доказательство

[shwedka]

lasta в сообщении #1151796 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Тогда

$$ N_5^3=N_6^3+ t_5^3$$

Следовательно $N_5^3$ составной куб, так как он раdняется сумме двух кубов. Запишем $N_5^3=N_6^3N_7^3$ . Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба $N_5^3$, меньшего предыдущего составного куба.
Однако, здесь возникает вопрос. $N_1 ,N_4,N_5$ могут быть простыми числами.
Тогда спуск снова останавливается. Так как тогда, если правая часть тождеств не является суммой двух кубов, не является противоречием. Так как для куба простого числа и не требуется, чтобы он был представим суммой двух кубов.
В этом случае рассмотрим одну из возможных сумм сомножителей составного куба. Пусть это будет $N_4^3+N^3_5,$
Утверждаем, что эта сумма не может быть кубом, так как тогда этот куб будет кубом составного числа. То есть

$$N_4^3+N_5^3=N_{14}^3N_{15}^3\qquad \e (5)$$

Каждый из кубов левой части (5) больше 1.Тогда каждый из кубов правой части (5) меньше наибольшего куба левой части (5). Появляется новый составной куб с сомножителями меньшим чем у предыдущего составного куба. Таким образом спуск восстанавливается.

Стоп.
. Пусть это будет $N_4^3+N^3_5,$
Утверждаем, что эта сумма не может быть кубом,
Да, не может. Это не куб. И не написано, как 'восстанавливается спуск' в этом случае. Никакого нового составного куба не получено.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151805 писал(а):

Утверждаем, что эта сумма не может быть кубом,
Да, не может. Это не куб. И не написано, как 'восстанавливается спуск' в этом случае. Никакого нового составного куба не получено.

Уважаемая shwedka!
Внес дополнения по Вашему замечанию.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Тогда

$$ N_5^3=N_6^3+ t_5^3$$

Следовательно $N_5^3$ составной куб, так как он равняется сумме двух кубов. Запишем $N_5^3=N_6^3N_7^3$ . Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба $N_5^3$, меньшего предыдущего составного куба.
Однако, здесь возникает вопрос. $N_1 ,N_4,N_5$ могут быть простыми числами.
Тогда спуск снова останавливается. Так как тогда, если правая часть тождеств не является суммой двух кубов, не является противоречием. Так как для куба простого числа и не требуется, чтобы он был представим суммой двух кубов.
В этом случае рассмотрим одну из возможных сумм сомножителей составного куба. Пусть это будет $N_4^3+N^3_5,$
Утверждаем, что эта сумма не может быть кубом, так как тогда этот куб будет кубом составного числа. То есть

$$N_4^3+N_5^3=N_{14}^3N_{15}^3<N_4^3N_5^3$$

Предположим, что сомножители $N_{14}^3N_{15}^3$ - снова простые числа, тогда будет выполняться соотношение

$$(N_{14} +1)^3N_{15}^3<N_4^3N_5^3\qquad \e(5)$$

Значит $(N_{14}+1)$ (пусть это больший сомножитель) не будет простым числом. И мы имеем новый составной куб, у которого один из сомножителей составной куб. Второй сомножитель мы сократим в сформулированном новом тождестве. Таким образом спуск восстанавливается.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (7) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих составных кубов, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (6).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. А исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151807 писал(а):

Внес дополнения по Вашему замечанию.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Тогда

$$ N_5^3=N_6^3+ t_5^3$$

Следовательно $N_5^3$ составной куб, так как он равняется сумме двух кубов. Запишем $N_5^3=N_6^3N_7^3$ . Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба $N_5^3$, меньшего предыдущего составного куба.
Однако, здесь возникает вопрос. $N_1 ,N_4,N_5$ могут быть простыми числами.
Тогда спуск снова останавливается. Так как тогда, если правая часть тождеств не является суммой двух кубов, не является противоречием. Так как для куба простого числа и не требуется, чтобы он был представим суммой двух кубов.
В этом случае рассмотрим одну из возможных сумм сомножителей составного куба. Пусть это будет $N_4^3+N^3_5,$
Утверждаем, что эта сумма не может быть кубом,

Да, эта сумма не куб.
неверно,что

Цитата:

$$N_4^3+N_5^3=N_{14}^3N_{15}^3$$

Вы не можете пользоваться
этим равенством.
Не показано, что появляется новый составной куб.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151808 писал(а):

Не показано, что появляется новый составной куб.

Уважаемая shwedka!
Согласен. Но это применимо к другому составному кубу.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Тогда

$$ N_5^3=N_6^3+ t_5^3$$

Следовательно $N_5^3$ составной куб, так как он равняется сумме двух кубов. Запишем $N_5^3=N_6^3N_7^3$ . Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба $N_5^3$, меньшего предыдущего составного куба.
Однако, здесь возникает вопрос. $N_1 ,N_4,N_5$ могут быть простыми числами.
Тогда спуск снова останавливается. Так как тогда, если правая часть тождеств не является суммой двух кубов, не является противоречием. Так как для куба простого числа и не требуется, чтобы он был представим суммой двух кубов.
Тогда прибавим к основанию большего из произведения кубов составного куба единицу. Получим $(N_4+1)^3N^3_5<N^3$. То есть имеем составной куб меньше исходного и один из его сомножителей $(N_4+1)$ не простое число. Получим тождество

$$N_1^3(N_4+1)^3N_5^3 =N_1^3(N_5)^3 t_5^3+ N_1^3N_5^3(( N_4+1)^3-t_5^3)$$

Сократим сомножители $N_1^3N_5^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$( N_4+1)^3 = t_5^3+ ( (N_4+1)^3-t_5^3 )\qquad \e (5)$$

Утверждаем, что эта сумма $( (N_4+1)^3-t_5^3 )$ не может быть кубом. Обозначим его как $N_6^3 $. так как тогда $( (N_4+1)^3=N_6^3+t_5^3 )$ и куб $(N_4+1)^3$ будет кубом составного числа. То есть

$$(N_4+1)^3=N_{14}^3N_{15}^3<N_4^3N_5^3$$

Предположим, что $N_{14} ,N_{15}$ - снова простые числа, тогда $(N_ {14}+1) ^3 N_{15}^3<N_4^3N_5^3$ Значит $(N_{14}+1)$ (пусть это больший сомножитель) не будет простым числом. И мы имеем новый составной куб, у которого один из сомножителей составной куб. Второй сомножитель мы сократим в сформулированном новом тождестве. Таким образом спуск восстанавливается.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t_{j+3}^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t_{j+3}^3) \qquad \e (6) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t_{j+3}^3+(N_{j+3}^3-t_{J+3}^3) \qquad \e (7) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих составных кубов, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (6).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. А исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151836 писал(а):

огласен. Но это применимо к другому составному кубу.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Тогда

$$ N_5^3=N_6^3+ t_5^3$$

Следовательно $N_5^3$ составной куб, так как он равняется сумме двух кубов. Запишем $N_5^3=N_6^3N_7^3$ . Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба $N_5^3$, меньшего предыдущего составного куба.
Однако, здесь возникает вопрос. $N_1 ,N_4,N_5$ могут быть простыми числами.
Тогда спуск снова останавливается. Так как тогда, если правая часть тождеств не является суммой двух кубов, не является противоречием. Так как для куба простого числа и не требуется, чтобы он был представим суммой двух кубов.
Тогда прибавим к основанию большего из произведения кубов составного куба единицу. Получим $(N_4+1)^3N^3_5<N^3$. То есть имеем составной куб меньше исходного и один из его сомножителей $(N_4+1)$ не простое число. Получим тождество

$$N_1^3(N_4+1)^3N_5^3 =N_1^3(N_5)^3 t_5^3+ N_1^3N_5^3(( N_4+1)^3-t_5^3)$$

Сократим сомножители $N_1^3N_5^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$( N_4+1)^3 = t_5^3+ ( (N_4+1)^3-t_5^3 )\qquad \e (5)$$

Утверждаем, что эта сумма $( (N_4+1)^3-t_5^3 )$ не может быть кубом.

И опять то же самое, уже в третий раз. Да, число не является кубом. Для такого случая построение нового составного куба отсутствует. И спуск прекращается.

Вы в третий раз уклоняетесь от рассмотрения наиболее важного случая.
Это означает, что
доказательства у ВАс нет.
Попробуйте в последний раз. Если опять будет уклонение от рассмотрения важного случая. то будет признано, что доказательства у вас нет, ,и буду ходатайствовать о переносе темы в пургаторий.

[lasta]

Пока подготавливается доказательство, которое просила shwedka, некоторые соображения по нему представляю для участников форума, возможно они сделают какие-то замечания.
Итак, мы вернулись на первый шаг спуска с составным кубом из трех кубов, основания которых простые числа $P_1, P_2,P_3$. Прежде чем строить спуск в этом случае рассмотрим, а возможна ли вообще такая ситуация.
В этом случае, тождество (1) можно сформулировать так , что сокращаются любые два сомножителя исходного составного куба. Пусть это будут $P_1^3P_2^3$. То есть

$$(P_1P_2P_3)^3=P_1^3P_2^3t_3^3+P_1^3P_2^3(P_3^3-t_3^3)\qquad \e (1)$$

и

$$P_3^3=t_3^3+(P_3^3-t_3^3)\qquad \e (2)$$

Левая часть (2) куб простого числа, который не разлагается в сумму двух кубов. Следовательно, теорема верна и спуск не нужен. Так как можем сократить любые сомножители, то это справедливо и для других сомножителей. Далее, если на каком-то шаге спуска появится составной куб простых чисел, то мы переходим на предыдущий шаг с этим составным кубом и тем самым утверждаем, что на предыдущем шагу теорема уже верна.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151978 писал(а):

Пока подготавливается доказательство, которое просила shwedka, некоторые соображения по нему представляю для участников форума, возможно они сделают какие-то замечания.
Итак, мы вернулись на первый шаг спуска с составным кубом из трех кубов, основания которых простые числа $P_1, P_2,P_3$. Прежде чем строить спуск в этом случае рассмотрим, а возможна ли вообще такая ситуация.
В этом случае, тождество (1) можно сформулировать так , что сокращаются любые два сомножителя исходного составного куба. Пусть это будут $P_1^3P_2^3$. То есть

$$(P_1P_2P_3)^3=P_1^3P_2^3t_3^3+P_1^3P_2^3(P_3^3-t_3^3)\qquad \e (1)$$

и

$$P_3^3=t_3^3+(P_3^3-t_3^3)\qquad \e (2)$$

Левая часть (2) куб простого числа, который не разлагается в сумму двух кубов. Следовательно, теорема верна и спуск не нужен.

Какая теорема? ВТФ? ВТФ утверждает, что НИКАКОй куб не разлагается в сумму двух кубов.вы же получили это ТОЛЬКО для простых кубов. И известно это еще от Абеля, 200 лет,
то есть, разложение (1) невозможно. А невозможность разложения $(P_1P_2P_3)^3$ не как в (1), а на взаимнопростые слагаемые Вами так и не доказана.
Вы упираетесь в то же место,по которому был мой самый первый вопрос.
Почему невозможно разложение

$$(P_1P_2P_3)^3=a^3+b^3$$

,
имеющее вид, отличный от (1), где a,b не такие числа, как в (1)?

[lasta]

lasta в сообщении #1151978 писал(а):

Левая часть (2) куб простого числа, который не разлагается в сумму двух кубов. Следовательно, теорема верна и спуск не нужен.

Следует читать,- Левая часть (2) куб простого числа, который не разлагается в сумму двух кубов. Следовательно, для этого случая ВТФ верна сразу же и случай должен быть исключен из бесконечного спуска по тождеству (2).

-- 17.09.2016, 22:38 --

Таким образом, левая часть тождества (2) может рассматриваться только в виде составного куба. Если это куб $(P_1P_2P_3)^3$, то спуск по тождеству (2) возобновляется.

[shwedka]

lasta в сообщении #1152002 писал(а):

Таким образом, левая часть тождества (2) может рассматриваться только в виде составного куба.

И опять то же самое. Тот же обман. Правая часть (2) не обязательно состоит из кубов!
А раз так, если правая часть (2) не сумма кубов, то никаких ограничений на левую часть не возникает.
Вы уже пятый раз на этом месте провираетесь.

[lasta]

Я должен сделать безукоризненное доказательство (в ближайшее время). Не потому, что иначе уважаемая $\text{ \color {blue} shwedka }$ отправит тему в пургаторий, а в целях, при установлении ошибки, чтобы подобное не повторялось и останавливало в попытках создания подобных доказательств в дкальнейшем, не только меня, но и других участников форума. Поэтому для участников форума представляю начало доказательства.
Чтобы не нарушать сложившиеся приемы в доказательствах, вернемся к традиционному обозначению чисел. Так как принятые обозначения в теме плохо воспринимаются.
Всегда существует следующее равенство в взаимно простых числах

$$c^3=a^3+N,$$

где $(a,c,N )\in \mathbb {N}$ Числа $a,c$ - произвольные, а $N$, естественно, определяется разностью кубов $N=c^3-a^3$. Поэтому всегда выполняется тождество

$$c^3=a^3+(c^3-a^3) \qquad \e (1)$$

Например, в числах, когда ВТФ верна.

$$7^3=5^3+N=5^3+(7^3-5^3)=5^3+127$$

В случае, когда правая часть (1) простое число, ВТФ верна, потому, что сумма кубов всегда должна быть составным числом.
Предположим, что ВТФ не верна. То есть, $ N $ являлось бы кубом натурального числа. $N=b^3$. Тогда $c^3$ был бы составным кубом, так как равнялся бы сумме кубов $c^3=a^3+b^3$ Запишем $c^3=c_1^3c_{1s}^3$. Значит, всегда выполнялось бы тождество

$$c_1^3c_{1s}^3=c_{1s}^3a_1^3+c_{1s}^3(c_1^3-a_1 ^3) \qquad \e(2)$$

И тождество (3)

$$c_1^3 = a_1^3+ (c_1^3-a_1 ^3) \qquad \e(3)$$

где кубы произвольные и покрывают все сочетания кубов И в случае, если ВТФ не верна для некоторых $(c_1,a_1)$, выражение в скобках правой части (3) было бы кубом натурального числа. То есть

$$c_1^3-a_1^3=d_1^3$$

Тогда

$$c_1^3 =d_1^3+ a_1^3$$

Следовательно, $c_1^3$ был бы составным кубом. Запишем

$$c_1^3=c_2^3c_{2s}^3$$

Индекс $ s $ означает, что в дальнейшем куб с таким индексом будет сокращаться. Цифровые же индексы соответствуют номеру логическому шага.
Сразу отметим наиболее спорный вопрос. Должны ли иметь слагаемые (1) общий делитель? Нет не должны. Так как от (1) мы использовали только то, что сумма кубов является составным числом. Тождество (3) имеет свои кубы, алгебраически не связанные с кубами (1). Тождество (3) всегда выполнимо . И его кубы $(c_1^3,a_1^3)$ произвольные. Именно на этом принципе должен создаваться бесконечный спуск.
Это наиболее спорное место в доказательстве. Поэтому здесь я и остановлюсь.

Текст открректирован после того как уважаемая $\text{ \color {blue} shwedka }$ сделала сообщение Приношу ей извинения

[shwedka]

lasta в сообщении #1152108 писал(а):

И в случае, если ВТФ не верна для некоторых $(c_1,a_1)$, выражение в скобках правой части (2) было бы кубом натурального числа. То есть

$$c_1^3-a_1^3=d_1^3$$

И это утверждение не доказано.
Безосновательно исключен случай, когда левая часть (2) есть сумма кубов,
но кубы не такие, как в (2), то есть, кубы не имеющие общего множителя.

Еще раз, последний,
Переходя к (2), Вы безосновательно
отбрасываете возможные разложения $c^3$
на взаимно простые кубы.

-- Вс сен 18, 2016 08:23:36 --

И еще раз. Вы написали

lasta в сообщении #1152108 писал(а):

Тогда $c^3$ был бы составным кубом, так как равнялся бы сумме кубов $c^3=a^3+b^3$

Это верно.
Но переходя к (2) вы молчаливо предположили, что a,b имеют общий множитель,
а случай, когда эти числа взаимно просты, отбросили.

Именно этот последний случай и нужно рассматривать.
$c^3=a^3+b^3$, с взаимно простыми числами.

[yk2ru]

Беря три куба, имеющих общий множитель, ТС всё равно придёт к взаимно простым числам-кубам. Зачем ТС этот лишний шаг? Но почему то ТС упорно хочет на первом шаге брать числа с общим для них множителем и сокращение на него зачем то называть первым спуском. Ну какой это спуск, это всего лишь сокращение общего множителя для трёх чисел.

[lasta]

yk2ru в сообщении #1152126 писал(а):

Зачем ТС этот лишний шаг?

yk2ru, благодарю, что все еще проявляете интерес к теме.
Это не лишний шаг, а организованный шаг для бесконечного спуска, то есть должно доказываться, что на каждом шаге должны появляться новые составные кубы, меньшие предыдущего куба, с сомножителями-кубами также произвольными, но в новом интервале, определяемым новым составным кубом. На новые произвольные кубы есть только одно ограничение, что их произведение есть новый составной куб, и алгебраически они не связаны с кубами предыдущих тождеств. Есть связь только между составными кубами, которая показывает, что новые составные кубы меньше предыдущих.
С помощью тождеств, которые всегда выполнимы это и пытаюсь показать. Но возникают вопросы, понятные для меня, поэтому я и не рассматривал их в доказательстве, полагая, что это понятно и другим.
В связи с этим и остановился на начальной части доказательства, чтобы выяснить эти вопросы, а затем уже представить полностью откорректированное доказательство.
Поэтому благодарю вас за вопрос.

[shwedka]

lasta в сообщении #1152108 писал(а):

И в случае, если ВТФ не верна для некоторых $(c_1,a_1)$, выражение в скобках правой части (3) было бы кубом натурального числа. То есть

$$c_1^3-a_1^3=d_1^3$$

И опять то же самое.
НЕВЕРНО,что

Цитата:

выражение в скобках правой части (3) было бы кубом натурального числа.

Безосновательно исключен случай, когда левая часть (2) есть сумма кубов,
но кубы не такие, как в (2), то есть, кубы не имеющие общего множителя.

Вы вносите путаницу выражениями типа

Цитата:

если ВТФ не верна для некоторых $(c_1,a_1)$

. Поэтому впредь пишите точно
число... представимо (непредставимо) в виде суммы кубов. Тем избежите двусмысленностей.

[yk2ru]

shwedka в сообщении #1152186 писал(а):

Безосновательно исключен случай, когда левая часть (2) есть сумма кубов,
но кубы не такие, как в (2), то есть, кубы не имеющие общего множителя.

Если изначально метод доказательства построен на сокращении общего множителя, то ТС возможно и дальше старательно будет обходить этот случай. А иначе как будет получен очередной спуск, если до того спуск получался у ТС только после сокращения общего множителя.